6-1. 행렬 벡터의 곱

(1) 행렬 벡터와 벡터의 곱

 

m x n의 행렬이 있을 때, m은 행(row)의 개수이고 n은 열(column)의 개수가 될 것이다.

 

m x n의 행렬 A(볼드체 대문자)가 있다고 해보자.

 

A를 써보면, a11 ~ amn까지 m*n개의 성분이 있는 행렬이 될 것이다.

 

이러한 행렬에 어떤 벡터 x를 서로 곱한다는 것이 무엇을 의미하는지 알아보자.

 

벡터의 곱셈은 행렬 A에 곱하려는 벡터 x의 항목이 A의 열의 개수만큼 존재할 때만 가능하다.

 

그러니까 x는 다음과 같을 것이다.

 

x = [x1; x2; ... ; xn]

 

벡터 x의 길이는 m과는 달라도 상관이 없지만, n개의 길이를 가져야만 한다. (n x 1)

 

A와 x를 곱한 값을 써보면, 

 

[ a11×x1+a12×x2+...+a1n×xn 
a21×x1+a22×x2+...+a2n×xn

...

am1×x1+am2×x2+...+amn×xn]

 

이렇게 쓸 수 있다.

 

이 때, 자세히 보면 A의 각 행과 x가 내적을 한 값이 Ax의 성분이 된다는 것을 알 수 있다.

 

왜냐하면, 첫 번째 성분 x 첫 번째 성분 +  두 번째 성분 x 두 번째 성분 + ... + n번째 성분 x n번째 성분의 형태이기 때문이다.

 

Ax의 결과를 벡터 b라고 해보자.

 

그렇다면 b는 m x 1 의 벡터가 된다.

 

 

(2) 행렬의 행과 벡터의 곱 형식으로 표현

 

위에서 간략하게 정의를 해봤으니, 실제 값을 넣어서 계산해보자.

 

행렬 A

[-3 0 3 2;

1 7 -1 9]
이 있고,

 

벡터

[2; -3; 4; -1]
이 있다고 해보자.

 

행렬 A과 벡터의 곱은 [4; -32]가 된다.

 

위에서 연산을 할 때, 우리는 (행렬의 행과 벡터)의 내적을 구하는 방식으로 계산을 해왔다.

 

행렬 A를 각 행으로 쪼개서 생각해보면, 벡터 a1을 [-3; 0; 3; 2] 벡터 a2를 [1; 7; -1; 9]로 정의할 수 있다.

행렬의 행을 열벡터로 바꿔서 쓴 것 뿐이다.

 

행렬의 행을 열로 바꾸거나, 열을 행으로 바꾸기 위해서는 전치(transpose)시키면 된다.

 

a1의 전치는 [-3 0 3 2], a2의 전치는 [1 7 -1 9] 이다.

 

따라서, 행렬 A는 a1의 전치가 첫 번째 행, a2의 전치가 두 번째 행이라는 방식으로 바꿔 표현할 수 있다.

 

Ax 를 풀어보면 [a1T; a2T]x 이고, [a1T∙x; a2T∙x]가 되겠다.

 

즉, 행렬 곱하기 벡터는 행렬의 행을 곱하려는 벡터와 내적시킨 것과 같다.

 

 

 

(3) 행렬의 열과 벡터의 곱 형식으로 표현

 

새로운 행렬 A가 있다고 하자.

 

[3 1 0 3; 2 4 7 0; -1 2 3 4]

 

n이 4이기 때문에, 4개의 성분을 가진 벡터와 곱해야한다.

 

벡터 x를 [x1; x2; x3; x4]라고 하자.

 

(2)에서는 A를 행벡터의 집합으로 봤지만, (3)에서는 열벡터의 집합으로 보도록 하겠다.

 

그래서 각 열을 v1, v2, v3, v4라고 해보자.

 

그렇다면 행렬 A는 여러 개의 열벡터가 모여있는 것과 같으며, [v1 v2 v3 v4]이라고 쓸 수 있다.

 

이 맥락에서는 행렬A와 벡터 x의 곱셈을 해보면,

 

[3×x1+1×x2+0×x3+3×x4,
2×x1+4×x2+...
-1×x1+2×x2+... ]
 

가 된다.

 

자세히 본다면, 벡터 x의 x1이 v1의 3, 2, -1과 곱해져서 각 행에 들어간 것을 볼 수 있다.

 

x2 역시 v2의 1, 4, 2와 곱해져서 각 행에 들어갔다.

 

따라서, A×x 는 x1v1+x2v2+... + xnvn 이라고 할 수 있다. (A가 n개의 열, x의 길이가 n이라면)

 

Ax은 선형 조합으로 표현될 수 있다는 점이 조금 흥미롭다.

 

임의의 숫자 벡터 x에 따라서 A의 열벡터들의 선형조합을 만들어내는 것과 같다고 할 수 있다.

 

또한, 행렬 A와 벡터 b의 가중치 결합이라고 해석할 수도 있다.

 

행렬 A가 각각의 열에 x만큼의 가중을 정하는 A의 열벡터들의 선형결합이라고 해석할 수 있다.

 

결론적으로 A를 행으로 보냐, 열으로 보냐에 따라서 각각의 해석이 가능하다.

 

행으로 본다면 행과 벡터의 내적, 열로 본다면 열의 선형결합 또는 열의 가중치결합 이다.