6-2. 영공간(Null Space) 개요

(1) 영공간(Null Space)의 정의

 

영공간에 대해서 정리하기 전에 부분공간에 대한 개념을 복습하고 넘어가자.

 

s는 3가지 조건을 만족시켜야만 부분 공간이라고 할 수 있다.

 

1) 영벡터는 s의 원소이다.

 

2) 만약 v1과 v2가 부분공간의 원소라면 v1+v2 또한 부분공간의 원소이다. 즉, 부분공간은 덧셈에 대해 닫혀있다

 

3) 부분공간은 곱셈에 대해서도 닫혀있다. 실수 스칼라c를 부분공간의 원소 v1에 곱한다면 그 값도 부분공간의 원소가 된다.

 

그렇다면, m × n인 행렬 A가 있고, 벡터 x를 곱했을 때 영벡터가 되는 동차방정식을 세워보자.

행렬 A가 n개의 열을 가지고 있으므로, x는 n개의 성분을 가지는 Rⁿ의 원소이다.

 

행렬 A와 벡터 x의 곱이 영벡터를 만족하는, Rⁿ의 원소인 모든 벡터 x의 집합(초록색)을 정의할 수 있다.

 

이 집합은 부분공간이라고 할 수 있을까?

 

 

 

Ax = 0을 성립하는 x값들의 집합을 N이라고 하자.

 

N이 부분공간인지 맞는지 판단하기 위해서, 위의 세 조건을 만족하는지 알아보자.

 

첫번째 조건인 영벡터를 포함하는지부터 확인해보자.

 

영벡터가 존재하기 위해서는 m × n 행렬인 A와 영벡터를 곱하면 영벡터가 된다는 방정식이 성립해야한다.

 

A와 영벡터를 곱하면 결과 역시 영벡터가 나온다.

 

따라서, 영벡터는 이 방정식에 부합하고 첫번째 조건이 성립한다.

 

여기서 각 행과 영 열벡터의 내적값이 0이 나온다고 볼 수도 있다.

 

내적값이 0이라는 것을 통해서 두 값이 직각이라는 걸 알 수 있다.

 

 

N이 두번째 조건인 덧셈에 닫혀있는지 알아보자

 

두 벡터 v1, v2가 있다고 하자.

 

Av1 = 0 일 것이고, Av2 = 0 일 것이다.

 

그렇다면 Av1 + Av2 = 0 이고, A(v1 + v2) = 0 이 된다.

 

x가 v1 + v2일 때도 방정식이 성립하기 때문에, N은 덧셈에 대해서 닫혀있다.

 

 

 

N이 세번째 조건인 곱셈에 대하여 닫혀있는지 확인해보자.

 

Av1 = 0 을 만족하는 v1이 있다고 하자.

 

v1의 스칼라 c배인 Acv1 = 0 도 성립할까?

 

A(cV1) = c(Av1) 이므로

 

c*0 = 0 이다.

 

따라서, N은 곱셈에 대해서 닫혀있다.

 

집합 N은 부분공간이라고 할 수 있으며, a의 영공간이라고도 부른다.

 

간략하게 말하면, A * x = 0 을 만족하는 모든 x의 집합을 영공간이라고 한다.