17-2. 정규직교기저 활용(좌표계산)

(1) 정규직교기저에 대한 좌표

앞에서 정규직교기저가 무엇인지 알아보았다.

 

그러면 정규직교기저를 어떻게 활용하는지 알아보자.

 

정규직교기저의 여러 용도 중 하나로 정규직교기저는 좋은 좌표계 혹은 좋은 기저로 사용될 수 있다는 것이다.

 

Rn의 표준 기저를 적어보면, Rn = {[1, ... 0], [0, 1, ..., .], ... , [0, ..., 1]} 과 같이 표현할 수 있다.

 

각 원소들은 길이가 1이고, 다른 원소와 내적하면 0이 되며, 자기 자신과 내적하면 1이 된다.

 

B = {v1, v2, ..., vk} 와 같이 정규직교집합이 있다.

 

B는 부분공간 V의 정규직교기저이다.

 

B에는 k개의 기저 벡터가 있기 때문에, V는 k차원 부분공간이라는 것을 알 수 있다.

 

B의 벡터들로 이루어진 좌표계를 좋은 좌표계라고 한다.

 

만약 어떤 벡터 x가 V의 원소일 때, x를 위의 원소들의 일차결합으로 나타낼 수 있다는 것이다.

 

그래서 x = c1v1 + c2v2 + ... + ckvk 로 표현할 수 있다. (부분공간의 원소가 된다는 것은 이 식이 성립한다는 의미이다)

 

이 방정식의 양변에 각각 vi를 내적하면 어떻게 될까?

 

vi · x =  c1v1 · vi + c2v2 · vi + ... + ckvk · vi

 

v들은 기저벡터로 다른 기저벡터와 내적하면 0이 되는 벡터들이다.

 

따라서, 자기자신을 내적한 vi · vi 만 1이 되고, 나머지는 0이다.

 

vi · x = ci 

 

이러한 좌표계를 활용하여, 벡터 x를 나타내보자.

 

x =  c1v1 + c2v2 + ... + ckvk

 

[x]B = [c1, c2, ..., ck] 

 

위의 좌표계 식을 대입해보면, [x]B = [v1 · x1, v2 · x2, ... , vk · xk] 

 

이 식은 v들이 모두 기저벡터라는 가정하에 도출할 수 있는 식이다.

 

기존에는 C[x]B = x 라는 식을 활용하여, [x]B = C-1x 의 과정을 통해서 [x]B를 구할 수 있었다.

 

하지만 이러한 연산은 C가 가역적일 때만 가능한 연산이며, 역행렬을 구하는 복잡한 연산을 거치게 된다.

 

따라서, 위의 기저벡터 좌표계 식을 활용하면 앞의 단점을 무시하고, 쉽고 간단하게 [x]B라는 정규직교기저에 대한 좌표를 구할 수 있게 된다.

 

예를 들어서 계산해보자.

 

v1 = [3/5, 4/5], v2 = [-4/5, 3/5] 라고 하자.

 

B = {v1, v2} 집합이다.

 

먼저, B가 정규직교집합인지 알아보자

 

||v1||² = 1 .

||v2||² = 1 

각 벡터의 길이는 1이다.

 

v1 · v2 = 0

두 벡터는 서로 직교.

 

따라서, B는 R2의 부분공간 V의 정규직교집합이라고 할 수 있다.

 

R2의 임의의 원소 x = [-9, 2] 의 B 좌표계 좌표를 구해보자.

 

원래의 식대로라면,  C[x]B = x 이므로 [3/5, -4/5; 4/5, 3/5] [x]B = [9, -2] 라는 식을 풀어서 [x]B를 구해야 한다.

 

하지만 위와 같이 기저벡터와 x 좌표의 곱의 형태로 계산을 해보면,

 

[x]B = [v1 · x1, v2 · x2] = [19/5, -42/5]

 

따라서, 쉽고 깔끔하게 x가 B 좌표계 상으로 변환된 좌표를 구할 수 있다.

 

만약 R2가 아니라 R100과 같은 것을 다루게 된다면, 역행렬을 연산해서 C[x]B = x 를 푸는 것은 매우 어려운 일이다.

 

위와 같은 식을 활용한다면, 매우 간단하게 풀 수 있다.

 

이것이 바로 정규직교기저가 사용되는 한 가지 예시이다.

 

(정규직교기저에서 좌표를 찾거나 정규직교기저에 대한 좌표를 찾는 것을 매우 간단하게 할 수 있다.)