17-1. 정규직교기저

(1) 정규직교기저(Orthonormal basis)

 

 

집합 B에는 v1, v2, ..., vk의 벡터가 있고, 이 벡터들은 모두 길이가 1인 벡터라고 하자.

 

그래서 ||vi|| = 1 이고, ||vi||² = 1 이다.

 

모든 i에 대해 vi와 vi의 내적이 1이기도 하다. (i는 1~k가 될 수 있다.)

 

이를 정규직교집합이라고 하는데, 정규직교집합의 특징은 3가지가 있다.

 

1. 모든 벡터들의 길이가 1이다. 즉, 모두 정규화된 단위벡터이다.

 

2. 모든 벡터들이 서로 직교한다. (vi와 vj를 내적하면 1이 된다.)

 

그래서 i = j이면 vi · vj = 0, i ≠ j 이면 vi · vj = 0 이 된다.

 

3. 모든 벡터들은 선형독립이다.

 

만약 집합 B가 정규직교집합이라면, B는 선형독립이 된다고 했다.

 

이를 증명해보자.

 

B가 선형종속이라고 가정하고, 이게 틀렸음을 증명하면 선형독립임을 알 수 있다.

 

일단 vi, vj ∈ B , i≠j 이면, vi · vj = 0이 된다.

 

만약, vi, vj가 선형종속이라면, vi = c*vj 이다.

 

vi · vj = 0 에 대입해보면,

 

c*vj · vj = 0

 

c*vj · vj = c||vj||² = 0

 

||vj|| = 0 이 된다.

 

B의 벡터는 모두 길이가 1이라고 했으므로, 선형종속이라는 가정은 모순이다.

 

따라서, B는 선형독립이다.

 

그 말은 부분공간 V에 대해 B가 기저가 된다는 것이다.

 

B는 정규직교집합이면서 정규직교기저라고 부를 수 있고, span(B) = V가 된다.

 

실례를 들어보자.

 

v1 = [1/3, 2/3, 2/3] , v2 = [2/3, 1/3, -2/3] 이다.

 

||v1||² = 1 이므로, ||v1|| = 1

||v2||² = 1 이므로, ||v2|| = 1 이다.

 

B = {v1, v2} 라면, B는 정규직교집합이 된다.

 

vi · vj 을 계산해보면, 0이 나온다.

 

따라서, V = span(v1, v2) 이고, B는 V의 정규직교기저가 된다.