16-5. 기저의 변환행렬 예시

(1) 앞의 내용 총 정리

 

지난 번의 내용을 간단하게 복습, 요약정리하고 예제를 적용해보자.

 

Rn에서 Rn으로 사상하는 선형변환 T가 있다면, 표준좌표의 임의의 벡터 x에 A를 곱한 것이라고 나타낼 수 있다.

 

그리고, Rn의 기저 집합 B = {v1, v2, ..., vn} 이 있다.

 

그러면 n개의 선형독립하는 벡터가 있고, 이들을 비표준 기저라고도 할 수 있다.

 

C = [v1, v2, ..., vn] 과 같이, 기저 B를 위한 기저행렬의 변화라고 한다.

 

C[x]B = x

[x]B = C-1x

 

이를 하나의 그림으로 나타낼 수 있다.

 

표준기저좌표에 x가 있다면, A를 곱하면 선형변환을 한 T(x)를 구할 수 있다.

 

표준기저좌표 x에 C-1을 곱하면, B에 대한 좌표 [x]B를 구할 수 있다.

 

B에 대한 좌표 [x]B에 D를 곱하면, B에 대한 좌표에서 선형변환을 한 [T(x)]를 구할 수 있다. (D = C-1AC, 이전 글 참고)

 

선형변환을 한 T(x)에 C-1을 곱하면, B에 대한 좌표에서 선형변환을 한 [T(x)]를 구할 수 있다.

 

 

(2) 예제 1

T는 R2에서 R2로 사상하는 선형변환이다.

 

A = [3, -2; 2, -2] 이고, B = {[1, 2], [2, 1]}이다. 이 때, D를 구해보자.

 

위에서 언급한 바와 같이 T([x]B) = D[x]B 이다.

 

C = [1, 2; 2, 1] 이고,

 

C-1 = -1/3[1, -2; -2, 1] 이다.

 

 

따라서, D = C-1AC = [-1, 0; 0, 2] 

 

 

(3) 예제2

예제 1에서 구한 식을 활용하여, 실제 값에 적용해보자.

 

앞의 내용에서 구한 값들을 가져와보면,

 

A = [3, -2; 2, -2] 이고, B = {[1, 2], [2, 1]}, C = [1, 2; 2, 1] , C-1 = -1/3[1, -2; -2, 1], D = [-1, 0; 0, 2]

 

C[x]B = x

[x]B = C-1x

 

이다.

 

이를 (1)에서 정리한 식대로 표현해주면, 우측과 같은 그림이 나온다.

 

x = [1, -1] 이라면,

 

T(x) = Ax = [5, 4]

 

[x]B = C-1x = [-1, 1]

 

[T(x)]B = [x]B D = [-1, 1][-1, 0; 0, 2] = [1, 2]

 

[T(x)]B = C-1T(x) = -1/3[1, -2; -2, 1] [5, 4] = [1, 2]

 

어떻게 구해도 [T(x)]B가 같은 값이 나오기 때문에, 위의 식에 문제가 없음을 알 수 있다.

 

 

만약, [T(x)]B에서 T(x)를 구하고 싶다면, T(x) = C[T(x)]B 가 성립한다.