16-4. 기저의 변환행렬

(1) 기저의 변환행렬

Rn에서 Rn으로의 사상(mapping)인 선형변환 T가 있다고 하자.

 

좌표는 여러 개의 좌표계에서 표현될 수 있지만, 여기서의 x는 표준기저좌표에서 표현되는 것이라고 생각하자.

 

그러면 T(x) = Ax 이고, A는 표준기저에 관해서 변환 T를 위한 변환행렬이 된다.

 

이 때, 기저집합 B = {v1, v2, ..., vn} 이고, B가 Rn의 기저라고 한다면

 

[T(x)]B = D[x]B 와 같이 표현할 수 있고,

 

D는 기저 B에 관하여 변환 T를 위한 변환행렬이 된다.

 

이전에 했던 것과 같이 C = [v1, v2, ..., vn] 이라고 하자.

 

그러면

C[x]B = x

[x]B = C-1x

가 성립한다.

 

[T(x)]B = D[x]B 에서

 

D[x]B = [T(x)]B = [Ax]B = C-1(Ax) = C-1AC[x]B   ( [x]B = C-1x 이므로, [Ax]B = C-1Ax가 성립 )

 

결론적으로,

 

D[x]B = C-1AC[x]B 이고,

 

D는 기저 B에 대해서 변환 T에 대한 변환행렬이다.

C는 B를 위한 기저행렬의 변화이고,

A는 표준기저에 대해서 변환 T에 대한 변환행렬이다.

 

D = C-1AC 로 구할 수 있다.

 

이 식을 활용하면, 표준기저에서의 변환을 다른 좌표계에서의 변환으로 바꿔줄 수 있다.

 

다음 글에서 예제를 보면서, 이 식을 활용해보면 좀 더 직관적으로 쉽게 이해가 될 것이다.