16-2. 기저변환행렬

(1) 기저변환행렬

기저집합 B = {v1, v2, ..., vk}가 있다고 해보자.

 

벡터 a를 B에 대하여 표현해보면,

 

[a]B = [c1, c2, ..., ck] 이다.

 

a = c1v1 + c2v2 + ... + ckvk의 선형결합 형태로 표현할 수 있다.

 

이 때, n x k의 행렬 c = [v1, v2, ..., vk]로 표현할 수 있다.

 

C를 기저변환행렬이라고 한다.

 

기저변환행렬에 [a]B를 곱하면, a가 나오게 된다. 

 

이것을 활용하면, a가 무엇이냐는 질문에 대해 간단하게 C를 기저벡터에 곱해서 표준좌표 a를 구할 수 있다.

 

반대로, [a]B가 무엇이냐는 질문에 대해서도 C를 활용하여, B에 대한 a의 좌표인 [a]B를 구할 수도 있다.

 

이렇게, 임의의 기저에 대한 좌표로 표현된 벡터에서 표준좌표로 바꿔주는 행렬 C를 기저변환행렬이라고 한다.

 

말은 그럴듯하지만, 문자 그대로 열이 기저벡터들로 만들어진 행렬이다.

 

이걸 활용하여 a를 구하는 것과 C를 구하는 것을 해봐서, 기저변환행렬을 어떻게 활용하는지 간단하게 알아보자.

 

표준기저 좌표 a가 무엇인지 모를 때, 기저변환행렬을 활용하여 a를 구하는 것을 해보자.

 

v1 = [1, 2, 3], v2 = [1, 0, 1] 이고, B = {v1, v2} 이다.

[a]B = [7, -4]

 

v1, v2로 생성할 수 있는 부분공간은 그림과 같이 평면이 될 것이다.

 

이 때, a의 좌표를 표현해보면 그림과 같이 평면에서 [7, -4]가 된다.

 

a = C[a]B = [1, 1; 2, 0; 3, 1] [7, -4] = [3, 14, 17]

 

이처럼 a를 구할 수 있다.

 

C가 [1, 1; 2, 0; 3, 1]인 이유는, C는 그냥 기저 벡터가 열을 이루는 행렬이기 때문이다.

 

 

반대로 [d]B을 구하는 예시를 들어보자.

 

위와 같이 B = {v1, v2} 이고, 표준기저좌표 상에서 d = [8, -6, 2] 일 때, [d]B을 구해보자.

 

d = C[d]B = [1, 1; 2, 0; 3, 1][c1, c2] = [8, -6, 2] 

 

첨가행렬의 형태로 표현하여 기약행사다리꼴행렬을 활용하여 풀어보면,

 

[1 1 | 8

2 0 | -6

3 1 | 2] 의 첨가행렬이 되고,

 

[1 0; 0 1; 0 0] [c1, c2] = [-3, 11, 0] 이다.

 

따라서, c1 = -3, c2 = 11.

 

[d]B = [-3, 11]

d = -3v1 + 11v2 의 형태로 표현할 수 있다.