16-1. 기저에 대한 좌표

(1) 기저에 대한 좌표

Rn의 부분공간 V가 있고, B는 V의 기저라고 하자.

 

a∈V라고 할 때, a는 기저벡터들의 선형결합의 형태로 표현할 수 있다.

 

a = c1v1 + c2v2 + ... + ckvk

 

만약, 기저벡터들을 그래프의 축이라고 생각해본다면, 벡터 a를 기저 집합 B에 대한 좌표들로 쓸 수도 있다.

 

이를 수식으로 표현해보면 [a]B = [c1, c2, ..., ck] 와 같이 괄호안에 써서 B라는 기저집합에 대해 표현할 수 있다.

 

여기서 V가 n차원의 부분공간인데 왜 B가 k차원인지 궁금할 수도 있다.

 

예를 들어서 생각해보면 간단하다.

 

R3라는 공간에 부분공간은 2차원 평면일 수도 있고, 3차원일 수도 있다. 

 

따라서, k는 n보다 작은 값이 되게 된다.

 

그래야 a라는 벡터가 Rn의 원소이더라도, k개의 좌표(무게, 가중치)만 주면 V 상에 표현할 수 있게 된다.

 

 

 

위에서 벡터 a를 기저집합 B에 대한 좌표로 표현한다는 말이 무엇인지 이해가 안 갔다면, 이 그림 예시를 보면 좀 이해하기 쉬울 것이다.

 

v1 = [2, 1], v2 = [1, 2]라고 하고,

 

B = {v1, v2} 로 R2의 기저집합이라고 해보자.

 

v1, v2가 그래프에서 x, y축이 된다고 상상해보면 된다.

 

v1을 확장해서 그려보면, 파란색 선과 같이 되고

 

v2를 확장해서 그려보면, 노란색 선과 같이 된다.

 

선형변환이 되었기 때문에 v1이 x축, v2가 y축인 비틀린 공간이라고 생각해보자.

 

예를 들어, a = 3v1 + 2v2 = [8, 7]이라면, B 좌표계에서 [3, 2]가 된다고 봐도 된다.

 

 

한 가지 예를 더 들어서 생각해보자.

 

b = [3, -1]이 있다면, 우리가 일반적으로 생각하는 좌표에서는 위와 같이 표현될 수 있을 것이다.

 

그런데 왜 우리는 이것을 [3, -1]이라고 부르는 것일까?

 

왜냐하면, e1 = [1, 0], e2 = [0, 1]인 표준기저좌표계에서 그렇게 표현되기 때문이다.

 

[x, y] = xe1 + ye2 = [3, -1] [x; y;] 이다.

 

따라서, R2의 표준기저집합인 S = {e1, e2}에서 [ (x, y) ]S = [3, -1]이라고 표현할 수도 있다.