18-2. 고유값 결정식의 증명

(1) 고유값 결정식

Rn에서 Rn으로 사상하는 변환 T가 있고, T(x) = Ax와 같이 표현할 수 있다.

 

벡터 v에 대해서 변환을 취하면, Av가 되고, 이 결과는 v에 어떤 계수 λ만큼 곱해진 λv가 된다고 해보자.

 

이를 만족하는 벡터 v를 고유벡터(eigen vector)라고 하고, 계수를 고유값(eigen value)라고 한다.

 

고유벡터나 고유값을 구하기 위해서는, Av = λv를 만족하는 해를 구해야 하는데, 이를 어떻게 구할 수 있을까?

 

v가 영벡터이면 된다.

 

v가 영벡터라면 방정식을 확실히 만족하게 되지만, 부분공간을 생성하는 기저벡터의 수가 늘지 않기에 기저에 어떤 것도 추가하지 못하며, 고유값도 어떤 값이든 다 될 수 있다.

 

따라서, 의미있는 정보를 갖지 못하는 v=0을 제외하고, 영벡터가 아닌 고유벡터를 찾아보자.

 

Av = λv 를 정리하면, (λIn-A)v=0이 된다.

 

v가 영벡터가 아니기 때문에, v는 N(λIn-A)의 원소이다.

 

λIn-A를 B로 치환해보면, Bv = 0 N(B) = {x ∈ Rn | Bv = 0} 이다.

 

v는 영벡터가 아니기 때문에, N(B)에는 영벡터 외의 무언가가 있어야한다.

 

 

가상의 행렬 D가 있다면, D의 모든 열들이 선형독립이어야 N(D) = {0}이 필요충분하다고 했다.

 

따라서, λIn-A는 선형종속이어야 N(λIn-A)에 영벡터 이외의 원소가 존재한다는 것이다.

 

λIn-A이 선형종속인 열들을 지닌다면, 그 행렬은 가역성을 지니지 않기 때문에 행렬식이 0이 되어야 한다.

 

만약 행렬식(det)이 0이라면, 가역성을 지니지 못하고 선형종속이기 때문이다. (필요충분조건)

 

따라서, 행렬식이 0이 되도록 하는 λ값을 구하면 고유값을 구할 수 있다.