18-4. 고유벡터와 고유공간

(1) 고유벡터와 고유공간

앞의 예제에 이어서, 고유벡터와 고유공간을 구해보자.

 

A = [1 2; 4 3]이었고, λ가 A의 고유값이라면 det(λIn - A) = 0의 필요충분조건이라고 했다.

 

그래서, λ = 5, -1 이라는 값을 앞에서 구해봤었다.

 

Av = λv 이기 때문에, 

 

0 = (λIn - A)v 가 성립하고,

 

어떠한 고유값 λ에 대해서 고유공간 Eλ = N(λIn - A) 와 같이 영공간의 형태로 표현할 수 있다.

 

즉, 고유공간은 영공간을 만드는 (λIn - A)가 된다.

 

 

λ = 5 일 때, 영공간을 활용하여 고유공간을 구해보자.

 

 

E5 = N([4 -2; -4 2])

 

 

[4 -2; -4 2]v = 0 이므로,

 

기약행사다리꼴 행렬을 활용하여 왼쪽 행렬을 간단하게 해보자.

 

[4 -2; -4 2] -> [4 -2; 0 0]

 

따라서, [4 -2; 0 0][v1, v2] = [0, 0] 을 만족하는 v1, v2를 구할 수 있따.

 

v1 = 1/2 v2

 

E5 = {[v1, v2] = t[1/2 1]}

 

λ = 5 일 때의, 고유공간은 span( [1/2 1] )이라고 할 수 있다.

 

λ = -1 일 때, 영공간을 활용하여 고유공간을 구해보자.

 

E-1 = N( [-2 -2; -4 -4] )

 

기약행사다리꼴 행렬을 활용해보면,

 

[-2 -2; -4 -4] -> [-2 -2; 0 0 ]

 

 

[-2 -2; 0 0] = [1 1; 0 0] 이므로

 

[1 1; 0 0][v1 v2] = [0 0]

 

v1 = -v2

 

E-1 = { [v1, v2] = t[-1 1] }

 

따라서, λ = -1 일 때의, 고유공간은 span( [ -1 1] )이라고 할 수 있다.

 

 

span( [1/2 1]), span( [-1 1] ) 을 좌표 상에 그려보면, 우측의 그래프를 그릴 수 있다.

 

즉, 두 직선이 A = [1 2; 4 3]의 고유공간이라고 할 수 있다.