18-5. 3x3 행렬의 고유벡터와 고유공간

(1) 3x3행렬의 고유벡터와 고유공간

앞에서 3x3 행렬의 고유값을 구했다.

 

이어서 3x3 행렬의 고유벡터와 고유공간을 구해보자.

 

구하는 방식은 2x2에서 했던 방식과 동일하다.

 

행렬의 고유값을 구하고(Av=λv), 고유값을 활용해서 (λIn-A)v = 0을 만족하는 v가 고유벡터와 고유공간을 구할 수 있다.

 

A = [ -1 2 2; 2 2 -1; 2 -1 2]

 

고유값 λ=3 or λ=-3.

 

 

(1) λ=3

 

(λIn - A)v = [4 -2 -2; -2 1 1; -2 1 1]v = 0

 

기약행사다리꼴로 나타내도 위 식을 만족시키는 v값은 같다.

 

[4 -2 -2; 0 0 0; 0 0 0]v = 0 

 

v = [v1, v2, v3]

 

4v1 -2v2 -2v3 = 0

 

v2 = a, v3 = b라고 하면, v1 = 1/2a + 1/2b

 

E3 = {[v1, v2, v3] = [1/2, 1, 0]a + [1/2, 0, 1]b}

 

따라서, λ=3이라면 고유공간은 span([1/2, 1, 0], [1/2, 0, 1])

 

 

(2) λ= -3

(λIn - A) = [-2 -2 -2; -2 -5 1; -2 1 5]

 

기약행사다리꼴로 나타내면,

 

 

[-2 -2 -2; -2 -5 1; -2 1 5] -> [1 1 1 ; 0 -3 3; 0 -3 3] -> [1 0 2; 0 1 -1; 0 0 0]

 

v3 = t라고 하면,

 

v2 - v3 = 0 이므로 v2 = t

 

v1 + 2v3 = 0 이므로, v1 = -2t

 

E-3 = {[v1, v2, v3] = [-2, 1, 1]t }

 

따라서, λ=-3이라면 고유공간은 span([-2 1 1])

 

 

span([1/2, 1, 0], [1/2, 0, 1]) 과 span([-2 1 1])은 직교한다.

 

[1/2, 1, 0] · [-2 1 1] = 0

[1/2, 0, 1] · [-2 1 1] = 0 이기 때문이다.

 

그래프로 표현해보면,

 

E3는 평면, E-3은 평면과 직교하는 직선이 된다.

 

만약, 초록색 벡터 x가 있다면, E3 상에 있기 때문에, Ax = 3x가 무조건 될 것이다. (길이가 3배가 된다)

 

만약, 노란색 벡터 xr가 있다면, E-3상에 있기 때문에, Ax = -3x가 무조건 될 것이다. (길이는 3배, 방향은 반대)

 

이들은 모두 두 개의 고유공간이며, 고유값 3과 -3에 대응하는 공간이다.