12-6. 행렬식(삼각행렬을 활용한 복합연산)

(1) 행렬을 삼각행렬로 변형하여 행렬식 구하기

 

12-5에서 삼각행렬의 행렬식은 주대각선의 원소들을 곱해서 구할 수 있다고 했다.

 

이를 기반으로, 행렬 A와 같이 일반적이 nxn 행렬의 행렬식을 구하는 방법을 정리해보자.

 

12-4에서 j번째 행을 j번째 행 - i번째 행*c로 바꿔주더라도, 행렬식(A)의 값은 변하지 않는다고 했다.

 

행렬 A의 각 행들을 더하고 빼도 행렬식의 값은 변하지 않기 때문에, 상삼각행렬으로 변형해주자.

 

| [1 2 2 1; 1 2 4 2; 2 7 5 2; -1 4 -6 3] |

= | [1 2 2 1; 0 0 2 1; 0 3 1 0; 0 6 -4 4] |

= -| [1 2 2 1; 0 3 1 0; 0 0 2 1; 0 6 -4 4] |    (행의 위치를 바꾸면 행렬식의 부호가 바뀐다. 12-3 참조)

= -| [1 2 2 1; 0 3 1 0; 0 0 2 1; 0 0 0 7] |

= -(1 * 3 * 2 * 7)

= -42

 

 

앞에서처럼 4x4 행렬을 3x3행렬들도 나누고, 2x2행렬들로 나눠서 계산하는 것보다는 훨씬 쉽게 구할 수 있다.