12-3. 행렬식 (같은 값의 행이 있을 때)

(1) 같은 값이 있는 행의 행렬식

 

n x n의 행렬 A가 있다.

 

이 때 i번째 행을 ri라고 표현한다면, ri = [ai1, ai2, ..., ain] 이 된다.

 

행렬 A를 행벡터의 형태로 표현해주면, A = [r1, r2, ..., ri, ..., rj, ..., rn]이다.

 

이 때, ri와 rj의 위치를 바꾼 행렬 Sij가 있다.

 

그렇다면 det(Sij) = - det(A)가 될 것이다.

 

행렬식의 부호가 반대로 바뀌는 이유는,

 

2x2행렬 A = [a b; c d]라고 하고, S = [c d; a b]라고 한다면

 

det(A) = ad - bc, det(S) = cb - da 와 같이 되기 때문이다.

 

이는 nxn에서도 똑같이 확장적용이 가능하다.

 

제목과 같은 본론으로 들어가보자.

 

만약, ri와 rj가 같은 값을 같는 행렬이라면 어떻게 될까?

 

ri와 rj가 같다면, Sij = A와 같을 것이다. (바꾸더라도 같은 값을 바꾸기 때문)

 

그러면 det(Sij) = det(A) 가 성립하고,

 

앞에서 언급한 det(Sij) = -det(A)도 성립하게 된다.

 

det(A) = -det(A)라는 뜻인데, 이 식이 성립하려면 det(A) = 0일 때만 가능하다.

 

행렬이 가역적이라는 것은 기약행사다리꼴행렬이 In(항등행렬)이라는 것과 필요충분조건이라고 했다.

 

가역적이어서 역행렬이 존재한다는 것은 det != 0이라는 것이다.

 

따라서, 복제된 행 (같은 값의 행)이 있다면, 기약행사다리꼴행렬은 In이 될 수 없고, 비가역적이며, 행렬식이 0이라는 것을 알 수 있다.

 

같은 값의 행뿐만 아니라 같은 값의 열이 있더라도 동일하다.