12-2. 행렬식(행이 더해진 형태)

(1) 행이 더해진 행렬식

이번에는 행렬의 행의 일부가 더해진 형태일 때, 행렬식이 어떻게 변하는지 알아보자

 

X = [a b; x1 x2], Y = [a b; y1 y2], Z = [a b; x1+y1 x2+y2] 라고 해보자.

 

이 경우, Z의 두번째 행이 X와 Y의 두번째 행이 더해진 형태이다.

 

이 때, 더해진 행 외의 다른 행들은 모두 동일해야 한다.

 

det(X) = ax2 - bx1

det(Y) = ay2 - by1

det(Z) =(ax2 - bx1) + (ay2 - by1)

 

det(Z) = det(X) + det(Y)가 된다.

 

*** 행렬이 더해진 경우가 아니다. 행렬의 행이 더해진 형태라는 것이다!!

 

 

3x3 행렬에서도 적용되는지 알아보자.

 

위와 같이 X, Y, Z가 있다.

 

두번째 행이 [x1, x2, x3], [y1, y2, y3], [x1+y1, x2+y2, x3+y3]의 형태이고, 나머지 행은 동일하다.

 

이 경우에도 det(X) + det(Y) = det(Z)가 성립한다.

 

일반화해서 nxn 행렬에서도 적용되는지 알아보자.

 

위와 같이 X, Y, Z가 있고, i번째 행이 [x1, x2, ..., xn], [y1, y2, ..., yn], [x1+y1, x2+y2, ..., xn+yn]이다.

 

이 때도 역시, det(X) + det(Y) = det(Z) 가 성립한다.

 

노란색 글씨로 써놨지만, Z = X + Y 인 행렬의 덧셈의 경우에는 det(Z) = det(X) + det(Y)가 성립하지 않는다.

 

 

이걸 왜 하지? 라는 생각을 할 수도 있는데, 나중에 선형대수에서도 잘 활용된다고 하니 알아두고 넘어가자.