10-3. 가역성과 단사,전사함수의 관계

(1) 가역성과 단사함수 / 전사함수의 관계

 

 

 

앞에서 가역성이 무엇을 의미하는지 알아봤다.

 

가역성이란 역함수라고 하는 다른 함수가 존재한다는 의미이며, 역함수와 원래 함수를 합성하면 항등함수가 된다.

 

즉, 공역의 모든 y에 대해 f(x) = y를 만족하는 유일한 해 x가 존재하는 경우에 가역성이 존재한다고 할 수 있다. 

 

 

이 개념을 전사함수와 단사함수에 적용해보자.

 

유일한 해 x를 갖는다는 것은 y와 x가 일대일 대응이라는 것이며, 단사함수라는 뜻이다.

 

단사함수란 y값을 갖는 f(x)를 만족하는 x가 하나뿐이기 때문이다.

 

 

모든 y가 f(x)에 의해 사상된다는 것은 공역의 모든 원소가 치역이라는 의미이고, 이는 전사함수라는 뜻이다.

 

전사함수란 공역과 치역이 일치하는 함수이기 때문이다.

 

 

 

결론적으로, 가역성이 있다 <-> 전사함수이며 단사함수이다. 가 성립한다. (필요충분조건)