10-1. 역함수란?

(1) 역함수의 정의

 

어떤 함수 f를 f : Χ -> Υ 라고 정의하고, f(^-1) : Y -> X라고 정의해보자. (역함수)

 

a가 집합 X의 원소이고, b가 집합 Y의 원소일 때, f(a) = b 이고, f^-1(b) = a가 성립한다.

 

항등함수(대문자 Ι)란 Ι : X -> X 이고, I(a) = a가 되는 함수이다.

 

즉, 임의의 원소 a에 항등함수를 적용하면 결과값이 똑같이 a가 나온다는 것이다.

 

그림으로 표현해보면, 원과 같은 형태가 나오게 된다.

 

 

만약 f가 가역적(invertible)이라면, f(^-1)이 존재한다는 것과 필요충분조건이다.

 

필요충분조건이라는 것은 ( <-> 또는 iff)로 나타낸다. (명제가 참이고, 역도 참이라는 뜻)

 

"f의 역함수가 존재할 때, f는 가역적이다."라고 할 수 있다.

 

그리고, f(^-1)∘f = Ix 이고,  f∘f(^-1) = Iy 가 된다. (Ix, Iy가 이해되지 않는다면, 함수의 첫 입력값이 x, y라는 점을 생각하면서 그림을 그려보자)

 

간단하게 수식적으로 표현하면,

 

f(a) = b

f-1(b) = a

f(f-1(b) = b = I(b)

f-1(f(a)) = a = I(a)

 

 

(2) 역함수의 유일성

 

그러면 f의 역함수가 유일한지 알아보자.

 

f의 역함수가 유일하지 않다고 가정하자.

 

f의 역함수 g와 h가 있다면, 

 

g∘f = Ix   ...(1)

f∘g = Iy   ...(2)

 

h∘f = Ix   ...(3)

f∘h = Iy    ...(4)

가 성립한다.

 

g

= Ix∘g       -> 3번 식을 사용

= (h∘f)∘g

= h∘(f∘g) -> 결합법칙이 성립하기 때문

= h∘Iy.      -> 2번 식을 사용

= h

 

따라서, g = h 이고, 역함수는 유일하다는 것을 알 수 있다.