9-2. 행렬곱

(1) 행렬곱

 

 

사실 행렬곱은 어려울 게 없다. 하지만 그냥 정리차원에서 하는 것이니, 슬쩍 읽어보면 끝일 듯하다.

 

행렬 A는 m x n 이고, 행렬 B는 n x k라고 하자.

 

B를 열벡터의 형태로 표현하면 [b1, b2, ..., bk] 이다.

 

AB를 해주면 A와 B의 열벡터의 곱으로 표현할 수 있고, [Ab1, Ab2, ..., Abn]이 된다.

 

실제 값을 대입해보자.

 

A = [ 1 -1 2; 0 -2 1] , B = [1 0 1 1; 2 0 1 -1; 3 1 0 2;]라고 하자.

 

AB를 A와 B의 열벡터의 곱으로 표현하면 위와 같이 된다.

 

 

Ab1을 구할 때, a1과 b1의 내적으로 구하면 되고 풀어서 써보면 위와 같이 된다.

 

따라서, AB = 2 x 4의 행렬이 된다.

 

A는 2 x 3 이고, 행렬 B는 3 x 4 이고, A의 열과 B의 행이 같아야 행렬곱이 성립한다.

 

만약 BA를 한다면 (3 x 4) x (2 x 3) 이므로, B의 열과 A의 행이 같지 않아서 행렬곱이 성립하지 않는다.

 

 

(2) 행렬곱의 결합법칙

 

H(x) = Ax

G(x) = Bx

F(x) = Cx 라고 해보자.

 

 

변환을 세 번 해보면서, 결과를 비교해보자.

 

(H ° G) ° F) (x) = (AB)Cx 가 되고

 

(H ° (G ° F)) (x) = A(BC)x가 된다.

 

두 결과가 같다는 것을 알고 있다.

 

따라서, (AB)C = A(BC) = ABC 이고, 행렬곱에는 결합법칙이 성립한다.

 

 

(3) 행렬곱의 분배법칙

 

A = k x m

B = m x n

C = m x n 의 행렬이 있다고 하자.

 

A(B+C)를 풀어보면,

 

A와 (B+C)의 열벡터의 곱으로 표현할 수 있다.

 

A(B+C)

= [Ab1+Ac1, Ab2+Ac2, ... , Abn+Acn]

= [Ab1, Ab2, ..., Abn] + [Ac1, Ac2, ..., Acn]

= AB + AC

 

따라서, 행렬곱에서 분배법칙은 성립한다.