10-6. Ax = b가 단사함수가 되는 조건

(1) Ax = b의 해집합과 단사함수

 

 

10-3 글에서 변환이 가역성을 가지기 위해서는, 단사함수이면서 전사함수이어야 한다고 했다.

 

10-4에서는 변환이 전사함수가 되는 조건을 설명했다. ( Rank(A) = m 이면 전사함수 / 모든 열이 피벗변수 )

 

10-5에서 Ax = b의 해집합이 Xh + Xp와 같이 표현된다고 했다. (Xp는 particular한 벡터, Xh는 N(A))

 

그러므로 이번에는 x = Xh + Xp라는 해집합이 단사함수가 되는 조건에 대해서 알아보도록 하겠다.

 

 

변환 T는 X를 Y로 사상하고, T(x) = Ax라고 표현할 수 있다.

 

A는 변환행렬이라고 가정했기 때문에, 변환 T는 A를 정의역 내의 벡터와 곱하는 것이라고 생각할 수 있다.

 

만약 T가 단사함수라면, 공역 Y의 어떤 b를 골랐을 때 AX = b를 만족하는 해 x가 최대 1개 있다는 뜻이다.

 

10-5에서 알아본 것 처럼, x의 해집합은 특정한 벡터인 Xp와 영공간(=Xh)의 원소의 합으로 표현할 수 있다.

 

만약 단사함수가 되려면 x의 해집합에는 1개의 해만이 존재해야하기 때문에, 영공간에는 영벡터만을 포함하고 있어야 해의 개수가 1개이다.

 

 

 

 

one-to-one함수, 즉 단사함수가 되기 위해서는 해집합에 하나의 해만 있어야 한다.

 

하나의 해만이 존재한다는 뜻은 Xp + Xh에서 Xp는 이미 하나의 벡터로 정해졌기 때문에, Xh 역시 하나의 벡터만을 포함해야한다는 것이다.

 

영공간은 기본적으로 영벡터를 포함하고 있기 때문에, N(A) = {0}이 되어야 하나의 벡터만을 포함하게 된다.

 

영공간이 영벡터만 포함한다는 것은 Ax = 0 의 식을 풀어봤을 때,

 

x1a1 + x2a2 + ... + xnan = 0 이라는 의미이고, 

 

x1, x2, ..., xn = 0 이라는 의미이며, 

 

a1, a2, ..., an이 선형독립이라는 의미이다.

 

만약, a1, a2, ..., an이 선형 독립이라면 열공간(C(A))는 span(a1, a2, ..., an)과 같다.

 

왜냐하면, 선형독립이라면 a1, a2, ..., an이 열공간의 기저이기 때문이다.

 

(정의상, 모든 열벡터들이 선형독립이라면, 이들은 열공간을 생성하고, 기저를 생성한다.)

 

그래서, 기저의 차원, 열공간의 차원은 기저를 형성하기 위해 필요한 벡터의 수와 동일하며, n이 된다. (계수가 n이라고도 할 수 있다.)

 

 

결론적으로, 단사함수가 되기 위한 조건은 행렬의 계수가 n이라는 것과 필요충분조건이다.

 

무언가가 단사함수라고 가정한다면, 영공간이 영벡터를 가져야하며, 행렬의 열들이 서로 선형독립이고 행렬의 계수는 n이어야한다.

 

그리고, 행렬의 계수가 n이라고 가정하면 열벡터들이 모두 선형독립이라는 것이고, 모두 선형독립이라면 영공간은 영벡터이며, 단사함수이다.

 

두 조건이 서로 필요충분조건이라는 걸 알 수 있다.

 

그렇기 때문에 단사함수이기 위한 조건은 변환 행렬의 계수가 n이라는 것과 필요충분조건이다.