10-7. 가역성의 조건(간단한 정리)

(1) 가역성의 조건

 

 앞에서 함수가 가역적이기 위해서는 두가지 조건을 만족해야만 한다고 했다.

 

단사함수이면서 전사함수이어야 한다는 것이었다.

 

함수 T가 Rn -> Rm으로 변환하는 함수라고할 때, T가 가역적인지 알아보는 법을 정리해보자.

 

함수 T는 선형변환이므로 T(x) = Ax로 표현할 수 있다.

 

전사함수가 되기 위해서는 A의 계수, Rank(A)가 m과 같아야 한다고 했다.

 

또한, 단사함수가 되기 위해서는 A의 계수, Rank(A)가 n과 같아야 한다고 했다.

 

Rank(A) = m = n 이어야한다는 결론이 나온다.

 

 

즉, A는 정사각행렬이어야 한다는 조건이다. (n x n 행렬)

 

행렬 A는 a1, a2, ..., an으로 표현할 수 있고, 각 열벡터들은 n차원의 벡터들이다.

 

그리고, 계수가 열의 수와 같다는 것은 열벡터가 모두 열공간의 기저라는 것을 의미하는데, 이를 기약행사다리꼴행렬로 취해주면 어떻게 될까?

 

모든 열들이 기저 벡터이므로, 모두 피벗 열과 관련이 있다.

 

그러면, 기약행사다리꼴은 모두가 피벗열이기 때문에, 모든 열들이 선형독립이다.

 

rref(A) = 모든 열들이 선형독립이면서 피벗 열인 n x n 행렬이 되고,

 

이를 만족하는 값인 n x n의 단위행렬이 되게 된다.

 

 

 

위의 내용을 축약해서 정리해보면,

 

변환 T는 Rn -> Rn으로 보내주는 함수이면서 변환 행렬인 A의 기약행사다리꼴행렬이 n x n 단위행렬일 때, 변환 T를 가역적이라고 할 수 있다.