11-1. 기약행사다리꼴을 활용한 역행렬 구하기

(1) 기약행사다리꼴을 활용한 역행렬 구하기

 

 

변환 T = Ax라고 할 때, 행렬 A를 기약행사다리꼴행렬로 나타내고 싶다.

 

이 때, 행들을 더하고 빼서 만들곤 했다.

 

이러한 과정들이 A의 열벡터의 선형변환과 동일하다는 것을 보여주고, 이를 통해 A의 역행렬을 구할 수 있음을 보이고자 한다.

 

위의 그림과 같이 행렬 A가 있고, A의 기약행사다리꼴 행렬을 구하는 과정에서 더하고 빼는 과정을 한 번 진행했다.

 

이 과정을 표현해보면, T[a1, a2, a3] 였던 식이 T[a1, a2+a1, a3-a1]이 된 것과 같다.

 

즉, A에 행렬곱(선형변환)을 한 결과가 나온다.

 

 

A의 기약행사다리꼴행렬을 구하는 과정을 써보면, A를 위와 같이 S1, S2, S3행렬들을 곱해주는 과정과 같다.

 

만약, T(x)가 가역적이어서 역행렬이 존재한다면, 기약행사다리꼴행렬은 단위행렬이 될 것이다.

 

따라서, (S3∘S2∘S1)∘A = I 가 되게 되고, (S3∘S2∘S1) = A-1과 같다.

 

정리해보면,

 

A -> I

S1∘A -> S1∘I

S2∘S1∘A -> S2∘S1∘I

S3∘S2∘S1∘A -> S3∘S2∘S1∘I

I -> A-1∘I

 

와 같은 과정을 통해서 역행렬을 구할 수 있다.

 

 

 

(2) 예시

 

 

잘 이해가 안 된다면 예시를 따라가면서 역행렬을 구해보자.

 

A는 위와 같다.

 

A를 항등행렬로 만들기 위해 변환시키듯이, 첨가행렬 우측의 항등행렬도 동일하게 변환시켜주자.

 

좌상단은 기본 꼴이다.

 

우상단은 기본 꼴에서 (1항, 1항+2항, 3항-1항)을 한 결과이다.

 

우하단은 우상단에서 (1항+(1항+2항), (1항+2항), (3항-1항) - 2x(1항+2항))을 한 결과이다.

 

좌하단은 우하단에서 연산을 한 결과이다. (글로 쓰기 복잡하여 생략..)

 

그러면 좌하단의 첨가행렬 좌측은 항등행렬이 되고, 우측은 역행렬이 되게 된다.

 

따라서, A-1 은 [5 3 -1; 7 5 -2; -3 -2 1]이 된다.