11-2. n x n 행렬의 역행렬 구하기

(1) 2 x 2 행렬의 역행렬 구하기

 

이번 글에서는 n x n 행렬에서의 역행렬이 존재하는지 판별하는 법을 알아볼 생각이다.

 

11-1의 과정처럼 2x2행렬인 B = [a b; c d]를 기약행사다리꼴로 표현해보면, 판별식을 구할 수 있다.

 

2차원 정사각행렬의 판별식(determinant)는 ad-bc 이고, ad-bc가 0이 아닐 때 역행렬이 존재한다.

 

B-1 = [d -b; -c a] / (ad-bc)로 구할 수 있다.

 

 

 

(2) 3 x 3 행렬의 판별식

3 x 3의 행렬이 되면, 행렬을 부분적으로 나눠서 계산하면 역행렬이 존재하는지 파악할 수 있다.

 

3차원 정사각행렬이 위와 같이 있다고 할 때, a11 a12 a13을 기준으로 해당 벡터가 없는 행과 열을 2차 정사각행렬로 표현해서 det를 계산해준다.

 

그러면 위와 같이 3차 정사각행렬을 3개의 2차 정사각행렬로 나눌 수 있고, 각 부분을 계산해서 더해주면 된다.

 

단, a11, a12, a13에 붙는 부호는 +, -가 번갈아가면서 들어가도록 한다.

 

그러면, 위와 같이 계산할 수 있고, A의 판별식은 0이 아니기 때문에 역행렬이 존재한다는 것을 알 수 있다.

 

 

(3) n x n에서의 판별식

 

행렬의 차원이 확장되더라도 과정은 동일하다.

 

행렬 A가 nxn일 때, Aij라는 부분행렬을 반복적으로 만들어나가면서 분해해나간다.

 

Aij는 i번째 행과 j번째 열을 '무시'하고 만든 (n-1)x(n-1)행렬을 말한다.

 

det(A) = a11 det(A11) - a12 det(A12) + a13 det(A13) - ... +(-) a1n det(A1n)

 

으로 분해할 수 있고,

 

모든 값이 2차원에 도달할 때까지 반복해준다.

 

그러면 위와 같이 계산할 수 있고, det(A) = 7이기 때문에 역행렬이 존재한다는 것을 알 수 있다.