10-8. 역변환은 선형인가?

(1) 역변환은 선형변환일까?

 

 

변환 T가 있고, 가역적인 변환 T는 Rn -> Rn으로 사상한다.

 

그리고, T의 변환 행렬을 기약행사다리꼴행렬로 나타내면 n x n 단위행렬이 된다고 했다.

 

그러면, T의 역변환 T-1과 T의 합성함수가 In이고, T와 T-1의 합성함수가 In이다.

 

이러한 사실들을 알고 있는 상태에서, T-1이 선형변환인지 알아보고자 한다.

 

선형변환이 되기 위해서는, 덧셈에 닫혀있고 스칼라곱에 대해서 닫혀있다는 사실을 보이면 된다.

 

T(x+y) = T(x) + T(y)

 

T(cx) = cT(x)

 

를 역변환에서도 적용되는지 알아보자.

 

 

(2) 역변환이 선형변환이라는 조건 증명.

 

T∘T-1 = In

T∘T-1(a+b) = a+b

T∘T-1(a+b) = T∘T-1(a) + T∘T-1(b)

T(T-1(a+b)) = T(T-1(a) + T(T-1(b))      -> T로 묶어주면

T(T-1(a+b)) = T(T-1(a) + T-1(b))          -> 역행렬을 양변에 곱해준다

T-1(a+b) = T-1(a) + T-1(b)

 

역변환도 덧셈에 닫혀있다.

 

 

T∘T-1 = In

T∘T-1(ca) = ca

T∘T-1(ca) = c(T∘T-1)(a)

T(T-1(ca)) = cT(T-1(a))          -> 역행렬을 양변에 곱해준다

T-1(ca) = cT-1(a)

 

역변환은 스칼라곱에 닫혀있다.

 

 

(3) 결론

T가 선형독립이고 가역적이라면, T-1 역시 선형변환이다.

 

T(x) = A(x)

T-1(x) = A-1(x) 이다.

 

 

T-1∘T = In

A-1A = In

 

T∘T-1 = In

AA-1 = In

 

네 개의 식도 성립한다.