SInce 20180106

(1) 고유기저 변환 T는 Rn -> Rn으로 사상하는 변환이고, T(x) = Ax로 나타낼 수 있다. 만약, n개의 선형독립인 고유벡터로 이뤄진 행렬 A가 있다고 가정해보자. A가 {v1, v2, ..., vn}의 벡터로 이뤄져있으며, 이러한 고유기저벡터 집합을 B라고 해보자. 각 고유벡터를 변환 T해보자. T(v1) = Av1 = λ1v1 + 0v2 + ... + 0vn (λ1은 고유값) T(v2) = Av2 = 0v1 + λ2v2 + ... + 0vn ... T(vn) = Av1 = 0v1 + 0v2 + ... + λnvn 앞에서 했던 기저변환에 대한 내용을 살짝 정리해보면, x에 A를 곱해주면 T(x) x에 C-1을 곱해주면 [x]B [x]B에 C를 곱해주면 x [x]B에 D를 곱해주면 [T(x)..

(1) 3x3행렬의 고유벡터와 고유공간 앞에서 3x3 행렬의 고유값을 구했다. 이어서 3x3 행렬의 고유벡터와 고유공간을 구해보자. 구하는 방식은 2x2에서 했던 방식과 동일하다. 행렬의 고유값을 구하고(Av=λv), 고유값을 활용해서 (λIn-A)v = 0을 만족하는 v가 고유벡터와 고유공간을 구할 수 있다. A = [ -1 2 2; 2 2 -1; 2 -1 2] 고유값 λ=3 or λ=-3. (1) λ=3 (λIn - A)v = [4 -2 -2; -2 1 1; -2 1 1]v = 0 기약행사다리꼴로 나타내도 위 식을 만족시키는 v값은 같다. [4 -2 -2; 0 0 0; 0 0 0]v = 0 v = [v1, v2, v3] 4v1 -2v2 -2v3 = 0 v2 = a, v3 = b라고 하면, v1 = 1..

(1) 3x3 행렬의 고유값 사실 3x3 행렬도 2x2보다 계산과정이 복잡하기만 할 뿐, 고유값을 구하는 과정은 동일하다. λ는 A의 고유값이면, Av = λv를 만족하는 영벡터가 아닌 v가 있다. (필요충분조건) Av = λv 이면, det(λIn - A) = 0 을 만족한다. (필요충분조건) A = [ -1 2 2 ; 2 2 -1; 2 -1 2] 이면, λIn - A = [λ+1 -2 -2; -2 λ-2 1; -2 1 λ-2] 이다. 사루스의 법칙을 활용하여, 판별식을 계산해보자. 대각선 - 대각선으로 구하면 된다. (λ+1)(λ-2)(λ-2) + 4 + 4 - 4(λ-2) - (λ+1) - 4(λ-2) = 0 λ³ - 3λ² - 9λ + 27 =0 λ²(λ - 3) - 9(λ - 3) = 0 (λ²..

(1) 고유벡터와 고유공간 앞의 예제에 이어서, 고유벡터와 고유공간을 구해보자. A = [1 2; 4 3]이었고, λ가 A의 고유값이라면 det(λIn - A) = 0의 필요충분조건이라고 했다. 그래서, λ = 5, -1 이라는 값을 앞에서 구해봤었다. Av = λv 이기 때문에, 0 = (λIn - A)v 가 성립하고, 어떠한 고유값 λ에 대해서 고유공간 Eλ = N(λIn - A) 와 같이 영공간의 형태로 표현할 수 있다. 즉, 고유공간은 영공간을 만드는 (λIn - A)가 된다. λ = 5 일 때, 영공간을 활용하여 고유공간을 구해보자. E5 = N([4 -2; -4 2]) [4 -2; -4 2]v = 0 이므로, 기약행사다리꼴 행렬을 활용하여 왼쪽 행렬을 간단하게 해보자. [4 -2; -4 2] ..

(1) 고유값 구하기 예제. 앞에서 Av = λv (v는 영벡터가 아닐때)라면, det(λIn - A) = 0의 필요충분조건이라고 했다. 즉, 판별식 det(λIn - A) = 0 이라면 λ는 A의 고유값이라는 것이다. 예를 들어, A = [1, 2; 4, 3] 이라고 해보자. 판별식을 계산해보면, det([λ-1 -2; -4 λ-3]) = 0 이 성립해야한다. (λ-1)(λ-3) - 8 = 0 식을 풀어보면, λ = 5 or λ = -1 이 된다. 고유값 λ는 구했지만, 고유벡터는 무엇인지 구하지 못했다. 뒤에서 고유벡터를 구하는 것도 알아보자.

(1) 고유값 결정식 Rn에서 Rn으로 사상하는 변환 T가 있고, T(x) = Ax와 같이 표현할 수 있다. 벡터 v에 대해서 변환을 취하면, Av가 되고, 이 결과는 v에 어떤 계수 λ만큼 곱해진 λv가 된다고 해보자. 이를 만족하는 벡터 v를 고유벡터(eigen vector)라고 하고, 계수를 고유값(eigen value)라고 한다. 고유벡터나 고유값을 구하기 위해서는, Av = λv를 만족하는 해를 구해야 하는데, 이를 어떻게 구할 수 있을까? v가 영벡터이면 된다. v가 영벡터라면 방정식을 확실히 만족하게 되지만, 부분공간을 생성하는 기저벡터의 수가 늘지 않기에 기저에 어떤 것도 추가하지 못하며, 고유값도 어떤 값이든 다 될 수 있다. 따라서, 의미있는 정보를 갖지 못하는 v=0을 제외하고, 영벡..

(1) 고유값, 고유벡터 (eigenvalue, eigenvector) 앞에서 계속 벡터를 변환하는 것에 대해서 알아봤다. Rn -> Rn인 변환 T가 있을 때 T(v)라고 한다면, Av를 해서 벡터의 방향과 길이를 바꿔주곤 했다. 그래프 상에 표현해보면, v1 = [1, 2]이고, v1를 길게해서 나타낸 직선 L이 있다. 벡터 x가 있다면 L에 대해서 대칭을 해서 T(x)를 구하곤 했다. 고유값과 고유벡터도 선형변환에서 똑같이 나오는 개념이다. 그런데, 고유값과 고유벡터는 선형변환을 할 때, 벡터의 길이만 바뀌었을 때의 값이다. 예를 들어, v1을 L에 대해서 변환하는 T(v1) = 1 * v1이다. (v1이 L 상에 있기 때문) 이 때, v1을 고유벡터, 1을 고유값이라고 한다. 예를 들어, v2 =..

(1) 그람 슈미트 예제 저번의 예제에서 조금 확장해서, R4 공간에서 벡터 3개로 생성되는 부분공간 V의 정규직교기저를 구해보자. V = span([0 0 1 1], [0 1 1 0], [1 1 0 0]) 이다. u1 = v1 / ||v1|| ||v1|| = √2 u1 = 1/√2 [0 0 1 1] u2 = y2 / ||y2|| y2 = v2 - projV1v2 = v2 - (v2 ⋅ u1)u1 = [0 1 1/2 -1/2] ||y2|| = √3/2 u2 = √2/3[0 1 1/2 -1/2] V = span(v1, v2, v3) = span(u1, v2, v3) = span(u1, y2, v3) - u1은 정규화되었고, y2는 직교기저이다. = span(u1, u2, v3) - 여기까지 구했다. u3 ..

(1) 그람슈미트 예제 저번에 정규직교기저를 생성하는 과정을 정리했는데, 이를 그람 - 슈미트 과정이라고 한다. 좀 더 구체적인 예시를 들어서 보면, 이전에 모호했던 것이 좀 더 직관적으로 이해가 되지 않을까 싶다. V라는 평면이 x1 + x2 + x3 = 0 이라는 식을 만족한다고 하자. x1 = -x2 - x3 x2 = c1 x3 = c2 x1 = -c1 -c2 이다. V = {[x y z] = c1[-1 1 0] + c2[-1 0 1]} 으로 표현할 수 있다. V의 기저는 [-1 1 0], [-1 0 1] 이 된다. 이건 정규직교기저는 아니고 그냥 기저일 뿐이다. V = span( [-1 1 0], [-1 0 1] ) 이다. V1 = span(v1) = span(u1) 이라고 했기 때문에, u1 =..

(1) 그람-슈미트 과정 V의 기저인 v1, v2, ..., vk가 있다. v들은 정규직교기저는 아니지만, 정규직교기저로 만드는 방법을 그람-슈미트 과정이라고 한다. V1 = span(v1) 이라고 할 때, 정규직교기저 u1 = v1 / ||v1|| 을 하면 구할 수 있다. ||u1|| = ||v1 / ||v1|| || = ||v1|| * 1 / ||v1|| = 1 그래서 {u1} 은 V1의 정규직교기저가 된다. 따라서, V1 = span(v1) = span(u1) 이다. (v1≠u1) 2차원으로 확장해서 정규직교기저를 구해보자. V2 = span(v1, v2) 인데, u1도 v1과 같은 방향의 정규직교기저이기 때문에, V2 = span(u1, v2) 라고 쓸 수도 있다. 그래프를 그려서, 평면 Rn이 ..