SInce 20180106

(1) 기저에 대한 좌표 Rn의 부분공간 V가 있고, B는 V의 기저라고 하자. a∈V라고 할 때, a는 기저벡터들의 선형결합의 형태로 표현할 수 있다. a = c1v1 + c2v2 + ... + ckvk 만약, 기저벡터들을 그래프의 축이라고 생각해본다면, 벡터 a를 기저 집합 B에 대한 좌표들로 쓸 수도 있다. 이를 수식으로 표현해보면 [a]B = [c1, c2, ..., ck] 와 같이 괄호안에 써서 B라는 기저집합에 대해 표현할 수 있다. 여기서 V가 n차원의 부분공간인데 왜 B가 k차원인지 궁금할 수도 있다. 예를 들어서 생각해보면 간단하다. R3라는 공간에 부분공간은 2차원 평면일 수도 있고, 3차원일 수도 있다. 따라서, k는 n보다 작은 값이 되게 된다. 그래야 a라는 벡터가 Rn의 원소이더..

(1) 예제1. 세 직선사이에서 최소 거리가 되는 점 위와 같이 세 직선의 방정식이 있다. y에 대해 정리해보고, 그래프 상에 그려보면, 세 직선이 만나는 한 점은 존재하지 않는다. Ax = b 의 해가 없는 경우이기 때문에, Ax* = b의 형태로 세 직선과의 거리가 가장 가깝게 하는 근사값을 구해볼 수 있다. 2x - y = 2 x + 2y = 1 x + y = 4 를 Ax = b의 형태로 표현해보면 [2, -1; 1, 2; 1, 1] [x, y] = [2, 1, 4] 가 되어야 한다. ATAX* = ATb의 식을 계산해주면, X*을 구할 수 있다. ATA = [2 1 1; -1 2 1] [2 -1; 1 2; 1 1] = [6 1; 1 6] ATb = [2 1 1; -1 2 1][2; 1; 4] = ..

(1) 정사영을 활용하여 최소 제곱 근사값 구하기 임의의 n x k 행렬 A가 있고, Ax = b라는 식이 있고 해가 없다고 하자. x는 Rk의 원소이고, b는 Rn의 원소일 것 이다. Ax = b의 해가 없다는 것은 무슨 의미일까? Ax = b라는 식은 [a1, a2, ..., ak] [x1; x2; ... ; xk] = b 처럼 열벡터와 x의 곱의 표현 할 수 있고, 해가 없다는 것은 어떠한 x를 곱해도 b를 만들 수 없다는 것이고, b가 C(A) 상에 존재하지 않는 다는 의미와 같다. (열벡터의 어떤 선형결합으로도 b를 만들 수 없기 때문) 이를 그림으로 표현하면, C(A)라는 평면이 있고 b라는 벡터는 열공간에 존재하지 않으면서 원점에서 뻗어나가는 벡터로 표현할 수 있다. b라는 해는 구할 수 없..

(1) x를 정사영한 벡터는 x와 부분공간이 가장 가까운 벡터 R3에 있는 평면 부분공간 V를 그려보면 위와 같다. 이 때, 파란색 벡터 x가 있고, x를 V에 정사영한 벡터가 부분공간의 벡터 중에서 x에 제일 가까운 벡터가 된다. x를 V에 정사영하면 연두색 벡터가 나오고, V에 있는 임의의 벡터 v를 핑크색으로 그려봤다. x와 projVx의 거리는 주황색벡터 a로 표현할 수 있고, x와 v의 거리는 자홍색벡터 x-v로 표현할 수 있다. V 상에 존재하는 projVx와 v의 거리는 노란색 벡터 b로 표현할 수 있다. 그림 상에서는 x - projVx가 x-v보다 짧아보이는데, 진짜 그런지 수식으로 계산해보자. x - projVx = a 이고, ||x-v||² = ||b+a||² = (b+a)⋅(b+a)..

(1) 부분공간에 대한 정사영이 선형변환인 것을 증명하기 V를 Rn의 부분공간이라고 하자. V의 기저에는 {b1, b2, ..., bk}가 있게 될 것이고, k는 n개의 항을 갖는 열벡터이다. V의 원소 a가 있다면, 기저벡터를 활용하여 a = y1b1 +y2b2 + ... + ykbk의 형태로 나타낼 수 있다. 이를 식으로 표현해보면, nxk인 A = [b1, b2, ..., bk]이고, y = [y1, y2, ..., yk]일 때, Ay = a의 형태로 V의 원소 a를 표현할 수 있다. Rn의 원소 x가 있다면, x를 V에 정사영한 projVx는 정의에 따라서 V 상에 존재하게 된다. (앞 글 참조) 따라서, ProjVx = Ay의 형태로 표현할 수 있다. 그리고, 앞에서 정리한 바와 같이 x는 pr..

(1) 평면에 대한 정사영 일반화 이전에 정의했던 정사영를 확장하기 위해 새롭게 정사영을 정리해보고자 한다. 이전에는 projLx는 x - projLx가 L에 직교하는 L위에 있는 벡터라고 했다. (노란색 글씨) 그래서 아래의 그림과 같이 직선 L이 있고 벡터 x가 있다면, 정사영은 자홍색 벡터가 되고 x-projLx를 한 벡터는 L에 직교한다고 했다. 이를 좀 더 일반화해보자. 직선 L이 있고, 벡터 x가 있고, x-projLx를 w라고 하고, projLx를 v라고 해보자. 그러면 정사영 ProjLx는 x-v=w 이고, w는 L의 모든 벡터와 직교하는 벡터라고 할 수 있다. w는 L⊥의 원소라고 할 수 있다. (2) 정사영의 시각화 위에서 일반화했으니, 이를 확장해서 직선이 아닌 평면에서 적용해보자. ..

(1) 부분공간에 대한 정사영(개요) 예전에 8-5에서 정사영에 대해서 간략하게 보고 넘어갔다. 그 때는 직선에 대한 정사영이었지만, 이번에는 부분공간에 대하여 정사영을 해볼 생각이다. 이전의 정사영에 대한 내용을 간단하게 다시 써보면, 직선 L은 벡터 v의 생성으로 만들 수 있는 직선이면서 부분공간으로 표현할 수 있다. 그리고 벡터 x가 있을 때, L에 정사영을 하게 되면 projL(x) = ((x·v)/(v·v))*v 로 구할 수 있었다. (v는 L의 생성벡터가 일반적.) 추가적으로 V가 Rn의 부분공간이라고 한다면, V의 직교여공간도 Rn의 부분공간이었다. 그리고 V와 V⊥의 합으로 Rn의 모든 원소를 표현할 수 있었다. 마지막으로 x를 V에 정사영하면 V 상에 존재했고, x를 V⊥에 정사영하면 V..

(1) 영공간과 Ax=b의 거리 앞에서 정리한 내용을 요약해보면 영공간(N(A))를 그려보고, 이와 직교여공간인 N(A)⊥를 표현해보았다. N(A)⊥ = C(AT) = R(A) 이다. R(A)에 Ax=b를 만족하는 해가 1개 존재하며, 이것이 가장 작은 x가 된다. 이 과정을 실제 값을 가지고 해보자. A = [3, -2; 6, -4] b= [9; 18]이다. N(A)를 구하고, Ax=b의 해집합을 구하고, N(A)⊥를 구한 다음, N(A)⊥의 원소이면서 x의 해인 값(최단 벡터)을 구해보자. 1. N(A)구하기. N(A)는 N(rref(A))와 같기 때문에, rref형태로 변환하여 영공간을 구해보자. N(rref(A))에서 x1 = 2/3t x2 = t 라는 결과를 얻을 수 있다. 따라서, N(A) =..

(1) Ax = b의 유일한 해를 행공간에서 찾기 mxn행렬인 A가 있고, 이를 열벡터의 형태로 표현해보면 A = [a1, a2, ..., an]으로 나타낼 수 있다. 만약, b가 A의 열공간(C(A))의 원소라면, b는 열벡터의 선형결합의 형태로 나타낼 수 있다. b = x1a1 + x2a2 + ... + xnan 이므로, [a1, a2, ..., an][x1; x2; ...; xn] = b이다. 즉, AX = b를 만족하는 해가 최소 1개 있다는 것이다. 이 내용은 이전의 내용을 복습한 것이다. Rn이라는 공간에 영공간(N(A))를 그려보고, 이와 직교여공간인 N(A)⊥를 표현해보자. N(A)⊥ = C(AT) = R(A) 이다. x를 Ax=b의 해라고 하고, x가 Rn의 원소라면 x = r0 + n0..

(1) 영공간의 직교보공간(직교여공간) 행렬 A가 있다. 이전 글에서 행공간은 열공간의 전치와 같다고 했다. 따라서, C(AT) = R(A)라고 할 수 있따. 그리고 C(AT)⊥ = N(A) 와 같다고 했다. 또한, C(A)⊥ = N(AT) (열공간의 직교여공간은 좌영공간과 같다) 14-5에서 다룬 것처럼 ⊥의 ⊥는 원래의 행렬로 돌아오기 때문에, 영공간의 직교여공간은 어떻게 될까? N(A)⊥ = (C(AT)⊥)⊥ = C(AT). 즉, A 영공간의 직교보공간은 A의 전치의 열공간과 같다. 좌영공간의 직교여공간은 어떻게 될까? N(AT)⊥ = (C(A)⊥)⊥ = C(A) 즉, A 좌영공간의 직교보공간은 A의 열공간과 같다. 정리하자면, N(A) = R(A)⊥ 이고, R(A) = N(A)⊥ 이다. N(AT)..