SInce 20180106

(1) 상삼각행렬의 행렬식 삼각행렬(Triangular Matrix)에는 상삼각행렬과 하삼각행렬이 있는데, 그냥 상삼각행렬로 행렬식을 구해보자. 둘 다 결과는 동일하다. 2x2행렬 A = [a b; 0 d]일 때, 행렬식을 구해보면 ad이다. 3x3행렬 B = [a b c; 0 d e; 0 0 f]일 때, 행렬식을 구해보면 adf이다. 뭔가 규칙이 보인다. 대각선에 있는 값들끼리 곱하는 것 같다. nxn행렬로 확대해서 진짜로 맞는지 알아보자. det(A)를 계산해보면, a11[A2~n] = a11*a22[A3~n] 과 같이 계속 분리해나갈 수 있다. 결과적으로는 det(A) = a11*a22*a33*...*ann이 된다. 실제 값으로 계산해보면, det([7 3 4 2; 0 -2 3 6; 0 0 1 7;..

(1) 복합 연산이 이뤄진 행렬의 행렬식 nxn의 행렬 A = [r1, r2, ..., ri, ..., rj, ..., rn]이라고 하고, nxn의 행렬 B = [r1, r2, ..., ri, ..., rj-c*ri, ..., rn]이라고 하자. det(B)의 값은 어떻게 구할 수 있을까? det(B) = det([r1, r2, ..., ri, ..., rj, ..., rn]) + det([r1, r2, ..., ri, ..., -c*ri, ..., rn]) 으로 분리할 수 있다. (12-2글 참고) det([r1, r2, ..., ri, ..., rj, ..., rn]) = det(A) 이고, det([r1, r2, ..., ri, ..., -c*ri, ..., rn]) = -c * det([r1, r..

(1) 같은 값이 있는 행의 행렬식 n x n의 행렬 A가 있다. 이 때 i번째 행을 ri라고 표현한다면, ri = [ai1, ai2, ..., ain] 이 된다. 행렬 A를 행벡터의 형태로 표현해주면, A = [r1, r2, ..., ri, ..., rj, ..., rn]이다. 이 때, ri와 rj의 위치를 바꾼 행렬 Sij가 있다. 그렇다면 det(Sij) = - det(A)가 될 것이다. 행렬식의 부호가 반대로 바뀌는 이유는, 2x2행렬 A = [a b; c d]라고 하고, S = [c d; a b]라고 한다면 det(A) = ad - bc, det(S) = cb - da 와 같이 되기 때문이다. 이는 nxn에서도 똑같이 확장적용이 가능하다. 제목과 같은 본론으로 들어가보자. 만약, ri와 rj가 ..

(1) 행이 더해진 행렬식 이번에는 행렬의 행의 일부가 더해진 형태일 때, 행렬식이 어떻게 변하는지 알아보자 X = [a b; x1 x2], Y = [a b; y1 y2], Z = [a b; x1+y1 x2+y2] 라고 해보자. 이 경우, Z의 두번째 행이 X와 Y의 두번째 행이 더해진 형태이다. 이 때, 더해진 행 외의 다른 행들은 모두 동일해야 한다. det(X) = ax2 - bx1 det(Y) = ay2 - by1 det(Z) =(ax2 - bx1) + (ay2 - by1) det(Z) = det(X) + det(Y)가 된다. *** 행렬이 더해진 경우가 아니다. 행렬의 행이 더해진 형태라는 것이다!! 3x3 행렬에서도 적용되는지 알아보자. 위와 같이 X, Y, Z가 있다. 두번째 행이 [x1, ..

(1) 행렬식 (스칼라 곱) 행렬의 행에 스칼라 곱을 했을 때, 행렬식이 어떻게 변화하는지 알아보자. 행렬 A = [a b; c d]가 있으면, 행렬식 |A| 은 ad - bc 이다. 만약 2번째 행에 k배를 해서 [a b; kc kd]가 된다면, 행렬식은 kad - kbc = k(ad - bc) = k|A|이다. 행렬 자체에 k배를 한다면, kA = [ka kb; kc kd]가 되고, 행렬식은 k²(ad - bc) = k²|A| 이다. 즉, 하나의 행에 스칼라곱을 할 때마다 |A|가 스칼라 곱이 된다. 행렬이 3 x 3이더라도 적용된다. 3 x 3 행렬 A의 행렬식을 |A|라고 한다면, 하나의 행이 k배가 되었다면, 행렬식은 k|A|가 된다. 이를 일반화해보자. n x n인 행렬 A가 있다고 하자. 행..

(1) 사루스의 법칙 행렬식(Determinant)을 쉽게 찾는 방법이 있다. 사루스의 법칙이라고 한다. 위와 같이 3x3행렬이 있고, 위와 같은 식을 쭉 정리해보면 행렬의 판별식을 구해볼 수 있다. det(A) = aei + bfg + cdh - afh - bdc - ceg 를 행렬에서 찾아보면 규칙성을 발견할 수 있다. 더해지는 값들은 좌상단에서 우하단으로 묶이며, 빼지는 값들은 좌하단에서 우상단으로 묶인다. 예시를 들어서 계산해보자. [1 2 4; 2 -1 3; 4 0 -1] 이라는 3x3행렬이 있다면, 1*(-1)*(-1) + 2*3*4 + 4*2*0 - 4*(-1)*4 - 2*2*(-1) - 1*3*0 = 1 + 24 + 0 + 16 + 4 + 0 = 45 이와 같이 구해지게 된다.

(1) 부호 규칙 이번 글은 매우 쉽고 짧은 내용이다. 행렬이 있을 때, 해당 행렬의 역행렬이 존재하는지를 알기 위해서 행렬식(determinant)을 계산하거나 부분행렬로 나눠서 계산할 때 부호를 어떻게 설정하는지 알아보자. 부호는 체크판처럼 + - + - 가 반복되는 구조라고 생각하면 된다. 따라서, 4x4이면 [+, -, +, -; -, +, -, +; +, -, +, -; -, +, -, +;] 가 부호이다. 이를 활용하여 위와 같이 4x4 행렬의 행렬식을 계산해보자. 첫번째 행을 기준으로 생각해보면, +1[~~] - 2[~~] + 3[~~] - 4[~~] 와 같이 된다. 4번째 행을 기준으로 생각해보면, -2 [~~] + 3 [~~] - 0 [~~] + 0 [~~] 이 된다. 간단히 표현하면, ..

(1) 2 x 2 행렬의 역행렬 구하기 이번 글에서는 n x n 행렬에서의 역행렬이 존재하는지 판별하는 법을 알아볼 생각이다. 11-1의 과정처럼 2x2행렬인 B = [a b; c d]를 기약행사다리꼴로 표현해보면, 판별식을 구할 수 있다. 2차원 정사각행렬의 판별식(determinant)는 ad-bc 이고, ad-bc가 0이 아닐 때 역행렬이 존재한다. B-1 = [d -b; -c a] / (ad-bc)로 구할 수 있다. (2) 3 x 3 행렬의 판별식 3 x 3의 행렬이 되면, 행렬을 부분적으로 나눠서 계산하면 역행렬이 존재하는지 파악할 수 있다. 3차원 정사각행렬이 위와 같이 있다고 할 때, a11 a12 a13을 기준으로 해당 벡터가 없는 행과 열을 2차 정사각행렬로 표현해서 det를 계산해준다...

(1) 기약행사다리꼴을 활용한 역행렬 구하기 변환 T = Ax라고 할 때, 행렬 A를 기약행사다리꼴행렬로 나타내고 싶다. 이 때, 행들을 더하고 빼서 만들곤 했다. 이러한 과정들이 A의 열벡터의 선형변환과 동일하다는 것을 보여주고, 이를 통해 A의 역행렬을 구할 수 있음을 보이고자 한다. 위의 그림과 같이 행렬 A가 있고, A의 기약행사다리꼴 행렬을 구하는 과정에서 더하고 빼는 과정을 한 번 진행했다. 이 과정을 표현해보면, T[a1, a2, a3] 였던 식이 T[a1, a2+a1, a3-a1]이 된 것과 같다. 즉, A에 행렬곱(선형변환)을 한 결과가 나온다. A의 기약행사다리꼴행렬을 구하는 과정을 써보면, A를 위와 같이 S1, S2, S3행렬들을 곱해주는 과정과 같다. 만약, T(x)가 가역적이어서..

(1) 역변환은 선형변환일까? 변환 T가 있고, 가역적인 변환 T는 Rn -> Rn으로 사상한다. 그리고, T의 변환 행렬을 기약행사다리꼴행렬로 나타내면 n x n 단위행렬이 된다고 했다. 그러면, T의 역변환 T-1과 T의 합성함수가 In이고, T와 T-1의 합성함수가 In이다. 이러한 사실들을 알고 있는 상태에서, T-1이 선형변환인지 알아보고자 한다. 선형변환이 되기 위해서는, 덧셈에 닫혀있고 스칼라곱에 대해서 닫혀있다는 사실을 보이면 된다. T(x+y) = T(x) + T(y) T(cx) = cT(x) 를 역변환에서도 적용되는지 알아보자. (2) 역변환이 선형변환이라는 조건 증명. T∘T-1 = In T∘T-1(a+b) = a+b T∘T-1(a+b) = T∘T-1(a) + T∘T-1(b) T(T-..