SInce 20180106

(1) 정사영(Projection) 원점을 지나는 직선 L을 평면 R²에 초록색으로 그려보자. 직선 위에 존재하고 원점을 지나는 벡터 v를 분홍색으로 그려보자. 그러면, 직선 L은 v에 실수 c를 스칼라배한 값들의 집합이라고 표현할 수 있다. L = {cv | c∈R} 그리고 원점을 지나는 벡터 x를 주황색으로 그려봤다. 직선 L에 수직으로 비추는 빛이 있다면, 벡터 x에 의해 정사영된 x는 proj(x)라 할 수 있다. proj(x)는 벡터 x가 L에 만드는 그림자와 같은 느낌이라고 생각하면 된다. 그리고 x에서 L로 수선을 그릴 수 있고, 분홍색 수선은 벡터 x에 proj(x)를 뺀 것이 된다. 즉, L에 대한 x의 정사영을 뺀 것이다. 분홍 벡터가 직선 L과 수직이라는 것은 직선 상에 있는 모든 벡..

(1) 단위벡터 앞 부분에서 다뤘어야 하는 내용인데, 빠졌어서 간단하게 정리하고 넘어가려고 한다. 단위벡터는 길이가 1인 벡터를 의미한다. 1. u가 단위벡터이고, Rⁿ의 원소라고 하자. 그 말은 u는 u1~un까지 n개의 원소가 있다는 의미이다. 그리고, u의 길이는 각 성분의 제곱의 합에 루트를 씌워준 값이다. u는 단위벡터이기 때문에 길이는 1이고, u1² + u2² + ... + un²의 제곱근 역시 1이다. R이 100차원이든 2차원이든 상관없이 무조건 1이다. 2. v가 단위벡터가 아닌 벡터라면, Rⁿ의 원소라고 하자. 이를 어떻게 단위벡터로 만들 수 있을까? v = [v1 v2 ... vn] 이고, 벡터의 길이를 ∥v∥라고 하자. 벡터를 벡터의 길이로 나눠서, v/(∥v∥)를 해주면, u라는..

(1) R3에서의 회전 이전 글에서 R2에 속한 아무 벡터를 회전시키는 변환에 대해 정리했다. 이번에는 범위를 넓여서 R3에서 회전하는 변환을 정리해볼 생각이다. 3차원에서의 회전을 3Rot(θ)라고 하고, 이는 R3에서 R3로 사상하는 변환이다. 이 때, x축을 중심으로 회전한다고 가정하자. y축, z 축을 중심으로 다른 각도에서 회전하는 것은 이걸 응용하면 된다. x, y, z축을 그리고, x축을 중심으로 회전하는 벡터를 분홍색으로 그려봤다. 3Rot(θ) = Ax라고 표현할 수 있고, A는 3x3 행렬이다. A라는 행렬을 찾으려면, 이전처럼 단위 행렬에 변환을 적용해서 표현해보자. R3의 기저 벡터 [1 0 0 ; 0 1 0; 0 0 1]의 각 열을 e1, e2, e3라고 할 수 있다. 그러면 A ..

(1) 회전변환은 선형변환인가? 이 글로 각도 θ로 회전변환을 하는 변환도 선형변환인지 알아보고, 어떻게 선형변환 행렬을 만들 수 있는지 알아보자. R2에서 R2로 회전하는 변환 Rotθ가 있다. 이 변환은 벡터 x를 반시계방향으로 θ만큼 회전시키는 변환이다. 이게 선형변환인지 알기 위해서는 두 가지 조건이 성립하는지 체크해보면 된다. 1) Rotθ(x+y) = Rotθ(x) + Rotθ(y) 인가? 왼쪽처럼 2차원 좌표를 그리고, 노란색으로 벡터 x, y를 그리고 초록색으로 x+y를 표현했다. 반시계방향으로 θ만큼 회전한 Rotθ(x)를 하늘색, Rotθ(y)를 파란색으로 나타내봤다. x+y를 θ만큼 회전한 Rotθ(x+y)도 하늘색으로 그려보면, Rotθ(x) + Rotθ(y)의 값과 일치한다. 따라..

(1) 스케일 변환과 반사 변환 이번에는 앞에서 계속 언급한 선형변환을 어떻게 설계해서 벡터들을 원하는 대로 만들 수 있는지 보여주는게 목적이다. 선형변환 T는 Rn에서 Rm으로 사상되는 변환으로 m × n 행렬 A와 벡터 x의 곱으로 표현할 수 있다. n×n인 단위 벡터 I는 e1, e2, ..., en과 같이 표준기저 열벡터로 표현할 수 있다. 그러면 A는 각 표준기저에 T 변환을 해준 것으로 표현할 수 있다. A = [T(e1), T(e2), ..., T(en)] R2에 (3,2), (-3, 2), (3, -2)라는 세 개의 위치 또는 위치벡터가 있고, 이 세 벡터를 활용하면 하나의 삼각형을 그릴 수 있다. 이 삼각형을 우리는 y축을 중심으로 반사하고(뒤집고), y 방향으로 삼각형을 2배로 늘리고 ..

(1) 선형변환의 합 이번의 내용은 매우 간단하다. 두 개의 선형변환이 있을 때, 이들을 더하거나 스칼라를 곱하면 어떻게 되는지 알아볼 것이다. 두개의 변환 S와 T가 있고, 둘 다 Rn에서 Rm으로 가는 변환이다. 합과 곱의 결론을 먼저 써보면, 두 변환들을 더하면, 벡터 x가 각각 변환된 두 벡터의 합과 같다. 식으로 표현하면, (S+T)(x) = S(x) + T(x) 이다. 이 역시 Rn에서 Rm으로 가는 변환이다. 임의의 변환에 스칼라 c배를 한 값은 x에 스칼라 c배를 해서 변환한 값과 같다. 식으로 표현하면, (cS)(x) = c(S(x)) 이다. 이 역시 Rn에서 Rm으로 가는 변환이다. 이를 증명해보자. S(x) = Ax, T(x) = Bx 라고 하자. A = [a1, a2, ..., an..

(1) 원상이란? (Preimage) 원소들을 집합 X에서 집합 Y로 대응시키는 변환 T가 있다. 집합 X는 T의 정의역이고, 집합 X에 대응하는 집합 Y는 공역이다. T는 집합 X의 아무 원소나 대응시켰을 때 집합 Y의 원소로 바뀌는 변환이다. T의 부분집합(subset) A를 초록색, A의 상을 파란색으로 그려보면 위와 같이 된다. 이 때, T(A)를 T에 대한 A의 상이라고 표현했다. 이번에 우리가 알고 싶은 것은 T(A)만을 알 때, A를 구할 수 있는가이다. 오른쪽에 새로운 그림을 그려서, 집합 Y와 집합 Y의 부분집합인 S가 있다. 그러면 집합 X의 어떤 부분집합이 집합 S에 대응할까? (부분집합 S로 변환되는 벡터의 집합을 구해보자) 주의해야할 점은 집합 S의 모든 원소들이 반드시 대응하는 ..

(1) 부분공간과 부분공간의 변환 집합 V가 Rn의 부분 공간이라고 해보자. 부분공간이라는 의미는 V에 속하는 벡터 a와 b가 있을 때, 두 벡터의 합도 V에 속하고(덧셈에 닫혀있음) 벡터의 스칼러 곱도 V에 속한다(스칼라 곱에 닫혀있음)는 의미이다. 그리고 영벡터 역시 V에 포함된다. 임의의 변환 T가 있고, 이 변환은 Rn을 Rm으로 이동시키는 함수이다. 이 부분공간 V를 변환시키면 어떻게 될까? 변환된 결과를 V의 상이라고 말하며, V의 상은 T에 속해 있다. 이해를 돕기 위해 간단한 변환(R2 -> R2)이 있고, 변환의 결과로 우측의 그림처럼 노란색 삼각형을 변환하여 길쭉한 보라색 삼각형이 나온다고 하자. 그러면 보라색 삼각형은 T에 대한 노란색 삼각형의 상(이미지)이라고 할 수 있다. 이 삼각..

(1) 선분의 변환 R2 상에 3개의 위치벡터, x0 = [-2, -2], x1 = [-2, 2], x2 = [2,-2]가 있다고 하자. x0와 x1 사이의 선분 L0는 x0에서 x1과 x0의 차이만큼 더해준 것이다. L0 = { x0 + t(x1 - x0)}이고, t는 0과 1사이의 값이다. 왜냐하면, t가 해당 범위를 넘어가면 x0와 x1을 넘어서 더 긴 선분이 나오기 때문이다. 만약 t가 실수 전체가 된다면, x=-2라는 세로선 전체가 L0가 될 수 있다. x1과 x2 사이의 선분 L1 = {x1 + t(x2 - x1)} 이고, t는 0과 1사이의 값이다. x2와 x3 사이의 선분 L2 = {x2 + t(x0 - x2)} 이고, t는 0과 1사이의 값이다. 세 개의 선분으로 이뤄진 집합을 S라고 해..

(1) 단위행렬 여기 n x n 단위행열 I가 존재한다고 해보자. I2 = [1 0; 0 1], I3 = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1] 이 될 것이고, 단위행렬에 n개의 성분을 가지는 벡터 x를 곱한다면 결과 역시 벡터 x가 나오게 될 것이다. 그리고, 단위행렬의 각 열을 e1, e2, ..., en이라고 하면, e들은 표준기저라고 부른다. (길이가 1인 기저) e가 기저가 되는 이유는 Rn을 생성하면서 선형독립하기 때문이다. 만약 a1, a2, 부터 an까지를 갖는 벡터를 만들고싶다고 가정해보자. 이 벡터를 만들 선형결합식은 a1 e1 + a2 e2 + ... + an en 의 합으로 표현이 된다. (벡터의 각 성분과 단위벡터의 각 열이 곱해지면 만들 수 있다.) 이를 행렬로 표현하면 맨 우측..