SInce 20180106

(1) 벡터의 외적과 사인값의 관계 이번에는 외적의 정의와 Sin값 사이의 관계에 대해서 알아보도록 하겠다. 영벡터가 아닌 두 벡터의 내적에 대해서 aㆍb = ││a││×││b││ x cosθ가 성립한다고 했다. (θ는 두 벡터 사이의 각도) 두 벡터의 외적에 대해서 ||a x b|| = ||a|| × ||b|| x sinθ 가 성립한다. (θ는 두 벡터 사이의 각도) 내적은 cos이고 외적은 sin이다. 일단, 외적은 R3에서만 정의된다. 따라서, 벡터 a를 [a1, a2, a3], 벡터 b를 [b1, b2, b3]라고 가정하자. 그러면 두 벡터의 외적은 [a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁]이 된다. 벡터의 길이의 제곱은 자기 자신을 내적한 값이므로, X₁ ~ Xn까지..

(1) 벡터의 외적 (Cross Product) 한줄 요약 : 외적은 두 벡터와 직교하는 벡터값이다. 이전에는 계속 내적에 대한 내용이었는데, 이제는 외적에 대한 내용을 추가해보려고 한다. 내적은 어느 차원에서든지 정의가 되어있어서, Rn에 있는 어느 벡터든지 내적값을 구할 수 있었다. 하지만 외적은 오직 R3에서만 정의가 된다. 내적의 결과는 스칼라였지만, 외적의 결과는 벡터가 된다는 점 역시 다르다. R3에 존재하는 벡터 a를 [a₁, a₂, a₃]라고 하고, 벡터 b를 [b₁, b₂, b₃]라고 하자. 그렇다면, a x b(외적)는 [a₂ × b₃ - a₃ × b₂, a₃ × b₁ - a₁ × b₃, a₁ × b₂ - a₃ × b₂]가 된다. 서로 교차하여 계산한다고 생각하면 된다. 예를 들어, 벡..

(1) 3차원 공간의 면의 방정식 3차원 공간에서 면의 방정식에 관하여 살펴보자. 임의의 각도에서 모든 방향으로 계속해서 진행되는 면을 그리면, 이 면의 방정식은 ax + by + cz = d 라는 x, y, z로 이뤄진 일차함수가 된다. 면 상의 모든 점 x, y, z는 이 식을 만족한다. 면에 존재하는 점 (x0, y0, z0)가 있다고 정의해 보자. 이 점을 지나가는 면은 무수히 많기 때문에, 이 점 만으로는 면을 정의할 수는 없다. 하지만 점을 정하고, 그 점에서 면으로 직각인 벡터(법선벡터 n)를 명시한다면, 면의 방정식을 구할 수 있다. 법선벡터는 단순히 말하면 면의 모든 벡터에 직각을 이루는 벡터이다. 면 위의 노란색 벡터(a)가 있다고 가정하고, 법선벡터(n)가 있다면, 우리는 벡터 각도의..

1. 벡터 사이의 각도 이전에는 벡터의 길이에 대해 정리하면서, 벡터의 길이는 스칼라 값이라고 했다. 이번에는 벡터 사이의 각도에 대한 개념을 정의하고자 한다. 우리는 2차원 혹은 3차원 공간에서의 각도와 길이에 대해서 잘 알고 있다. 하지만 선형대수학이라는 학문 자체가 이런 개념들을 다차원의 공간에 추상화시키는 것이기 때문에, 다차원 공간에서의 각도에 대해서도 한번 알아볼 필요가 있다. 벡터 a와 벡터 b가 있다고 가정하고, 이들은 영벡터가 아니며 Rⁿ의 원소라고 해보자. 그리고 아직 두 벡터 사이의 각에 대한 개념을 이야기하지 않았지만, 일단 2차원상에 표현하면 삼각형을 이루는 벡터 a, 벡터 b, 벡터 a-b 가 나온다. 그리고 이 삼각형의 변의 길이는 각각의 벡터의 길이라고 할 수 있다. 벡터의 ..

1. 삼각부등식 (Triangle Inequality) 예전에 삼각형을 배울 때, 배웠던 공식과 유사하다. 삼각형 두 변의 길이의 합은 항상 나머지 한 변의 길이보다 크다는 것. 변 a의 길이 + 변b의 길이 > 변 c의 길이 이며, 변 a의 길이 + 변b의 길이 = 변 c의 길이 이면, 아래의 그림과 같이 직선이 되게 되기 때문에 삼각형이 아니게 된다. 벡터의 삼각부등식도 유사하다. ||x||+||y|| ≥ ||x+y|| 로, 두 벡터의 길이의 합은 벡터 합의 길이보다 크거나 같다. 이를 코시-슈바르츠 부등식을 활용하여 증명할 수 있다. 일단, 코시슈바르츠 부등식을 다시 써보자. 0벡터가 아닌 두 개의 벡터 x와 y가 있고, 이들은 Rⁿ의 원소라 합시다 0벡터가 아니라고 가정하는 이유는 증명하는 과정에..

1. 코시-슈바르츠 부등식 (Cauchy–Schwarz inequality) 영벡터가 아닌 두 벡터 x와 벡터 y가 있으며, 두 벡터는 집합 Rⁿ의 원소이라고 가정하자. 두 벡터를 내적한 값의 절대값(스칼라)은 두 벡터의 길이의 곱보다 작거나 같다. 벡터 x와 y 두 값이 같은 경우에만 두 벡터의 내적이 두 벡터의 길이의 곱과 같아진다. 즉, 하나의 벡터가 다른 벡터의 스칼라배인 경우이다. (벡터 x는 벡터 y의 스칼라 c배) 한마디로 두 벡터가 동일선상에 있는 경우이다. 이 식을 코시슈바르츠 부등식이라고 부른다. p(t)라는 임의의 벡터를 t × y - x로 정의해보자. p(t)라는 벡터의 길이는 ||t × y - x||^2으로 표현되며, 길이는 제곱한 값이기 때문에 적어도 0보다 크거나 같게 된다. ..

1. 벡터의 합, 스칼라 곱 앞에서 정리하기도 했고, 간단한 내용이지만 다시 한번 짚고 넘어가자. a1, a2부터 an까지의 값을 가지는 벡터와 b1, b2부터 bn까지의 값을 가지는 벡터를 더한다면, 단순히 두 벡터들의 대응되는 성분들을 서로 더하면 된다. 즉, a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn이 된다. 어떤 실수 c를 어떤 벡터 a1, a2, ... , an에 곱한다면 벡터의 각 성분에 스칼라를 곱하면 된다. 즉, ca1, ca2, ... , can이 된다. 이 곱셈은 단순히 벡터의 크기만 키운거일 뿐, 벡터의 곱이라고 하기는 힘들다. 2. 벡터의 내적(Dot Product) 벡터의 내적은 a·b로 표현하며, 십자 형태의 기호는 사용하지 않는다. 그 기호는 벡터의 외적에 사용되기..

1. 부분공간의 기저 (Basis of Subspace) 이전 포스팅에서 다룬 것처럼 부분공간 V는 어떠한 벡터집합의 생성과 같기 때문에, 임의의 벡터집합의 생성은 유효한 부분공간이라고 했다. 또한, v₁ , v₂, ... , vn에 이르는 벡터들의 집합은 선형독립이다. 생성이 무엇인지 간단하게 다시 정리하면, 생성이라는 것은 여기의 벡터들로 만들 수 있는 모든 가능한 선형결합의 집합을 말한다. 즉, 각각 다른 상수를 곱한 선형결합인c₁ x v₁ + c₂ x v₂ + ... + cn x vn으로 표현할 수 있으며, 이 결합의 모든 경우의 수가 생성이며 부분공간 V의 정의이기도 하다. 선형독립의 정의는 곧 식 c₁ x v₁ + c₂ x v₂ + ... + cn x vn 의 유일한 해가 영벡터라는 뜻이며 모..

1. 선형부분공간(Linear Subspace) ℝ𝑛이 각 벡터가 n개의 성분을 가지고 있는 무한히 큰 벡터의 집합이라고 할 때, ℝ𝑛의 부분공간은 어떻게 정의할 수 있을까? 벡터의 집합 V는 특정한 벡터의 부분집합 ℝ𝑛의 부분집합(subset)이라고 정의하자. 그렇다면 ℝ𝑛과 V의 관계는 그림의 우측에 있는 것처럼 포함관계가 되게 될 것이다. 이 때, V는 한 부분이 될 수도 있고 ℝ𝑛 전체가 될 수도 있다. V가 부분공간이거나 ℝ𝑛의 선형 부분공간이라면 3가지 조건을 충족시켜야 한다. 조건 1) V가 영벡터를 포함한다. 영벡터에는 0뿐만 아니라 복수 개의 0이 있는 값 역시 포함한다. 조건 2) 스칼라와 벡터의 곱에 대해 닫혀있다. V가 어떤 벡터 x를 가지고 있다면, x에 임의의 스칼라 c를 곱했을..

1. 선형종속 증명 선형종속을 만족하는 벡터들의 집합 S의 원소에 v1, v2, ..., vn까지 있다고 하자. 필요충분조건(iff, if and only if, 초록색 양방향 화살표)으로서 c1·v1+...+cn·vn = 0 을 만족시킨다면 선형종속이라고 할 수 있으며, 선형종속을 만족시킨다면 c1·v1+...+cn·vn = 0 이라고 할 수 있다. 이 때의 상수 c1, c2, ... cn에서 어떤 ci는 0이 아니다. 즉, 상수 c 중에서 0이 아닌 것이 최소한 1개는 존재한다는 의미이다. 이를 증명해보자. 선형종속을 만족하는 v1, v2, ... , vn이 있다. 선형종속이라면 한 벡터는 다른 벡터들의 합으로 표현될 수 있다고 가정하자. 수식으로 표현하면 v1 = a2v2 + a3v3 + ... +..