SInce 20180106

(1) 직교기저변환과 길이와 각도 변화 C가 n x n의 정사각행렬이고, 열들이 정규직교집합을 형성한다고 하자. 각 열벡터들은 모두 길이가 1이고, 모두 서로 직교한다. 따라서, 어떤 열을 다른 열과 내적하면 0이 되고, 자기자신과 내적하면 1이 된다. 이러한 행렬을 직교행렬이라고 한다. 직교행렬의 역행렬은 전치행렬과 같다. 앞에서는 이를 기저변환에 주로 활용했다. x를 표준기저라고 하면, 다른 기저의 좌표로 x를 나타낸 [x]B는 기저변환된 좌표라고 할 수 있다. x를 [x]B로 변환하려면 C-1을 곱하고, [x]B를 x로 변환하려면 C를 곱하면 된다. 이는 선형변환이고, 직교행렬에서는 어떤 벡터를 변화시키더라도 길이와 각도가 보전된다는 것을 이 글에서 보이고자 한다. 그림으로 표현하면 분홍색 벡터 x..

(1) 직교기저 변환행렬 구하기 및 그 활용 모든 열벡터들이 정규직교집합을 형성하는 행렬 C가 있다. C가 n x k 행렬일 때, CTC = Ik가 된다고 했다. (대각선 성분을 제외한 모든 것들이 상쇄되어 0이 된다.) 만약, C가 k=n 인 정사각행렬이라면 어떻게 될까? C의 모든 열들은 서로 선형독립이고, C는 가역성을 지닌다. 또한, n개의 열들은 Rn의 기저가 된다. C-1C = In 이고, CTC = In이기 때문에, C-1 = CT가 된다. 결론적으로, n x n 행렬의 열들이 정규직교집합을 형성한다면, C-1 = CT 이다. 어떤 벡터 v1, v2, v3이 있고, 이 벡터들은 모두 단위벡터이고 정규직교집합을 형성하며, R3의 정규직교기저가 된다. v1과 v2에 의해 생성된 평면 V가 있다고..

(1) 정규직교기저 활용해서 정사영 계산하기 저번 글에서 정규직교기저가 있을 때, 부분공간 V에 대해 Rn의 벡터 x의 정사영을 찾고 싶다면 projVx = AATx로 표현할 수 있다고 했다. A = [v1, v2, ..., vk] 이므로, 기저벡터를 열로 가지고 있는 행렬이다. V가 span([1/3, 2/3, 2/3], [2/3, 1/3, -2/3])의 공간이라고 하자. 두 벡터의 길이를 계산해보면 1이고, 서로 직교한다는 것을 알 수 있다. 따라서, v1, v2는 V의 정규직교기저이다. 부분공간은 R3의 평면이고, v1 v2가 정사영한다고 해보자. A가 v1, v2를 열벡터로 가지는 행렬로 만들어보자. A = [1/3, 2/3, 2/3; 2/3, 1/3, -2/3] projVx = AATx = 1/..

(1) 정규직교기저로 정사영 계산하기 저번 글에서 정규직교기저가 좋은 좌표계, 즉 좌표를 쉽게 알 수 있는 좌표계를 만드는 것을 보았다. 정규직교기저를 활용하면 유용한 다른 이유들에 대해서 알아보자. 어떤 부분공간 V가 Rn의 부분공간이고, B = {v1, v2, ..., vk}라는 V의 정규직교집합 B가 있다. x ∈ Rn 이면, x = v + w = projvx + w 와 같이 표현할 수 있었다. 이 때, v ∈ V 이고 w ∈ V⊥ 이다. (x는 V 상에 존재하는지 알 수 없다.) 기저 벡터들을 열로 가지고 있는 행렬 A가 있다고 하자. A = [v1, v2, ..., vk] 행렬이라면, x를 부분공간 V에 정사영한 벡터를 찾기 위해서 projVx = A(ATA)-1ATx 라는 식을 계산해야 했다...

(1) 정규직교기저에 대한 좌표 앞에서 정규직교기저가 무엇인지 알아보았다. 그러면 정규직교기저를 어떻게 활용하는지 알아보자. 정규직교기저의 여러 용도 중 하나로 정규직교기저는 좋은 좌표계 혹은 좋은 기저로 사용될 수 있다는 것이다. Rn의 표준 기저를 적어보면, Rn = {[1, ... 0], [0, 1, ..., .], ... , [0, ..., 1]} 과 같이 표현할 수 있다. 각 원소들은 길이가 1이고, 다른 원소와 내적하면 0이 되며, 자기 자신과 내적하면 1이 된다. B = {v1, v2, ..., vk} 와 같이 정규직교집합이 있다. B는 부분공간 V의 정규직교기저이다. B에는 k개의 기저 벡터가 있기 때문에, V는 k차원 부분공간이라는 것을 알 수 있다. B의 벡터들로 이루어진 좌표계를 좋은..

(1) 정규직교기저(Orthonormal basis) 집합 B에는 v1, v2, ..., vk의 벡터가 있고, 이 벡터들은 모두 길이가 1인 벡터라고 하자. 그래서 ||vi|| = 1 이고, ||vi||² = 1 이다. 모든 i에 대해 vi와 vi의 내적이 1이기도 하다. (i는 1~k가 될 수 있다.) 이를 정규직교집합이라고 하는데, 정규직교집합의 특징은 3가지가 있다. 1. 모든 벡터들의 길이가 1이다. 즉, 모두 정규화된 단위벡터이다. 2. 모든 벡터들이 서로 직교한다. (vi와 vj를 내적하면 1이 된다.) 그래서 i = j이면 vi · vj = 0, i ≠ j 이면 vi · vj = 0 이 된다. 3. 모든 벡터들은 선형독립이다. 만약 집합 B가 정규직교집합이라면, B는 선형독립이 된다고 했다...

(1) 앞의 내용 총 정리 지난 번의 내용을 간단하게 복습, 요약정리하고 예제를 적용해보자. Rn에서 Rn으로 사상하는 선형변환 T가 있다면, 표준좌표의 임의의 벡터 x에 A를 곱한 것이라고 나타낼 수 있다. 그리고, Rn의 기저 집합 B = {v1, v2, ..., vn} 이 있다. 그러면 n개의 선형독립하는 벡터가 있고, 이들을 비표준 기저라고도 할 수 있다. C = [v1, v2, ..., vn] 과 같이, 기저 B를 위한 기저행렬의 변화라고 한다. C[x]B = x [x]B = C-1x 이를 하나의 그림으로 나타낼 수 있다. 표준기저좌표에 x가 있다면, A를 곱하면 선형변환을 한 T(x)를 구할 수 있다. 표준기저좌표 x에 C-1을 곱하면, B에 대한 좌표 [x]B를 구할 수 있다. B에 대한 좌..

(1) 기저의 변환행렬 Rn에서 Rn으로의 사상(mapping)인 선형변환 T가 있다고 하자. 좌표는 여러 개의 좌표계에서 표현될 수 있지만, 여기서의 x는 표준기저좌표에서 표현되는 것이라고 생각하자. 그러면 T(x) = Ax 이고, A는 표준기저에 관해서 변환 T를 위한 변환행렬이 된다. 이 때, 기저집합 B = {v1, v2, ..., vn} 이고, B가 Rn의 기저라고 한다면 [T(x)]B = D[x]B 와 같이 표현할 수 있고, D는 기저 B에 관하여 변환 T를 위한 변환행렬이 된다. 이전에 했던 것과 같이 C = [v1, v2, ..., vn] 이라고 하자. 그러면 C[x]B = x [x]B = C-1x 가 성립한다. [T(x)]B = D[x]B 에서 D[x]B = [T(x)]B = [Ax]B ..

(1) 기저변환행렬의 가역성 이전 글과 같이 B = {v1, v2, ..., vk} 인 기저벡터 집합이라고 하자. 그리고 n x k의 기저변환행렬 C가 있다. 벡터 a를 B에 대하여 나타내면, 기저변환행렬의 곱 형태로 나타낼 수 있었다. C [a]B = a 기저변환행렬 C에 역행렬이 존재한다고 가정해보자. 그러면, C는 정사각행렬로 k = n인 n개의 n차원 기저벡터의 형태로 표현할 수 있게 된다. 그리고, 선형독립이게 된다. (열벡터가 부분공간의 기저를 이루기 때문이다) 만약 C가 가역적일 때, B의 생성(span)을 구해보면 Rn이 된다. (역행렬이 존재한다면 기저벡터의 선형결합을 이용하여 Rn의 어떤 벡터라도 만들 수 있기 때문) 반대로 만약 B의 생성이 Rn일 때, C는 가역적이라는 것도 성립한다..

(1) 기저변환행렬 기저집합 B = {v1, v2, ..., vk}가 있다고 해보자. 벡터 a를 B에 대하여 표현해보면, [a]B = [c1, c2, ..., ck] 이다. a = c1v1 + c2v2 + ... + ckvk의 선형결합 형태로 표현할 수 있다. 이 때, n x k의 행렬 c = [v1, v2, ..., vk]로 표현할 수 있다. C를 기저변환행렬이라고 한다. 기저변환행렬에 [a]B를 곱하면, a가 나오게 된다. 이것을 활용하면, a가 무엇이냐는 질문에 대해 간단하게 C를 기저벡터에 곱해서 표준좌표 a를 구할 수 있다. 반대로, [a]B가 무엇이냐는 질문에 대해서도 C를 활용하여, B에 대한 a의 좌표인 [a]B를 구할 수도 있다. 이렇게, 임의의 기저에 대한 좌표로 표현된 벡터에서 표준좌..