SInce 20180106

(1) 직교보공간의 직교보공간 직교보공간의 직교보공간은 어떻게 될까? V⊥는 V의 원소인 v에 대해 x·v = 0인 모든 x의 집합을 의미한다. 그렇다면 (V⊥)⊥는 V⊥의 원소인 w에 대해 x·w = 0인 모든 x의 집합을 의미한다. V, V⊥, (V⊥)⊥를 그림으로 표현해보면 위와 같이 표현된다. (V⊥)⊥는 파란색 원인데, V를 포함하고 그 외의 추가적인 원소(노란색 점)이 있을 수도 있다. x가 (V⊥)⊥의 원소라면, x = v + w (v∈V, w∈V⊥)로 표현할 수 있다. x·w = 0 (둘은 직교하기 때문에 내적의 값은 0) x에 x=v+w를 대입해주면, (v+w)·w = 0 v·w + w·w = 0 0 + w·w = 0 w·w = 0 ||w||²=0 따라서, w=0이 된다. 그러면 식 x ..

(1) V와 V의 직교여공간으로 Rn 표현하기 Rn의 부분집합은 부분공간 V가 있고, V의 직교여공간인 V⊥가 있고 이것 또한 Rn의 부분집합이다. 앞에서 정리한 것처럼 dim(V) + dim(V⊥) = n이다. 두 부분공간이 공통으로 가지는 벡터가 존재할까? x라는 벡터가 V와 V⊥의 원소라고 가정해보자. 둘이 직교하기 때문에 V에 속하는 모든 v에 대해서 x·v = 0 이고, x·x = 0 역시 성립한다. 자기 자신과의 내적은 길이의 제곱과 같기 때문에, ||x||²=0 이라는 의미이고, 이는 x = 0 일때만 성립한다. 따라서, V와 V⊥의 교집합 원소는 0이고, 이를 그림으로 그려보면 위와 같이 된다. dim(V) = k 라고 하면, dim(V⊥) = n-k 가 된다. 차원은 기저에 필요한 선형독..

(1) 계수와 퇴화차원(Nullity)의 관계 ( = dim(V)와 dim(V⊥)의 관계) Rn의 부분공간 V가 있고, V의 기저로는 v1, v2, ..., vk가 있다고 해보자. V의 차원은 k가 된다. A를 기저인 v1, v2, ..., vk로 이뤄진 행렬이라고 한다면, A는 nxk의 행렬이 되게 된다. 부분공간 V는 span(v1, v2, ..., vk)로 생성할 수 있는 공간이고, 기저 v1, v2, ..., vk는 모두 선형독립이기 때문에 span(v1, v2, ..., vk)는 A의 열공간과 동일하다. C(A)에서 직교여공간은 C(A)⊥로 표현하고, A의 전치행렬의 영공간과 동일하다. (14-2 참고) 그리고 C(A) = V라고 했기 때문에, C(A)⊥ = N(AT) = V⊥ 가 성립한다. 그..

(1) 직교보공간(직교여공간) Rn의 부분공간 V가 있다고 하자. 이 부분공간 V의 부분여공간을 V⊥라고 하자. (⊥는 직각이라는 뜻의 perpendicular에서 따온 perp라고 읽는다.) V⊥를 정의하자면, 부분공간 V의 모든 원소 v에 대해 x∙v = 0을 만족하는 x의 집합이다. 근본적으로 말하면, 부분공간의 모든 원소와 직교하는 벡터들이 원소로 있는 집합을 직교여공간이라고 한다. V⊥이 부분공간인지 확인해보자. 부분공간이 되기 위해서는 덧셈과 스칼라곱에 닫혀있어야한다. a, b가 V⊥의 원소이고 v가 V의 원소라면, a∙v = 0 & b∙v = 0 이고, (a+b)∙v =0 (덧셈에 닫혀있다.) ca∙v = c(a∙v) = 0 (스칼라 곱에 닫혀있다) 따라서, V⊥는 부분공간이다. 이는 V⊥에..

(1) 4대 부분공간의 직교 14장에서는 직교보공간(직교여공간)에 대해서 알아보려고 하는데, 이에 앞서서 앞에서 다룬 부분공간들이 어떻게 수직이 되는지 알아보고 넘어가려고 한다. 일단 내적이 0인 두 벡터는 수직이다. 그리고, 어떤 부분공간에 속한 모든 벡터들이 다른 부분공간에 속한 벡터들과 모두 수직이라면, 두 부분공간은 수직이다. 예를 들어, 행공간과 영공간은 수직이다. (2) 행공간과 영공간 행공간과 영공간은 직교이다. 행렬 A의 행공간은 A의 행 벡터로 생성되고, 영공간은 Ax = 0을 만족하는 x로 생성된다. Ax = 0는 [row1; row2; ....; row m) x = [0; 0; ...; 0]을 만족시키려면, row1*x1 = 0 이 되므로, 모든 행 벡터와 x의 내적이 0이 되어야한다..

(1) Rank(A) & Rank(At) 앞에서 행렬 A의 계수 = A의 전치행렬의 계수 라고 했는데, 이에 대해서 조금 자세히 보자. Rank(At) = dim( C(At)) 이다. 왜냐면, 전치행렬의 열공간의 차원 = 행렬의 행공간의 차원 이기 때문이다. mxn A를 행벡터로 표현하면, m개의 행으로 이뤄진 행렬이고, nxm At를 열벡터로 표현하면, m개의 열로 이뤄진 행렬이다. 전치한 행렬이기 때문에, A의 i번째 행과 At의 i번째 열은 같은 값을 가진다. A의 행의 생성 = C(At) = span(r1, r2, ..., rn) 이 된다. A의 기저행을 알기 위해 기약행사다리꼴로 나타내보려면, A의 행들을 가지고 행연산을 해주면 된다. 그렇게 구한 기약행사다리꼴 행렬의 피벗 행들은 A행렬의 행공..

(1) 행렬의 열공간, 영공간 이번 글에서는 전치행렬의 열공간과 영공간(혹은 좌영공간)에 대해서 알아볼 것인데, 행렬의 열공간과 영공간을 간단하게 구해보면서 시작하자. 2x3행렬 A = [2 -1 3; -4 2 6] 이 있다. 열공간 C(A) = span([2, -4], [-1, 2], [-3, 6])이고, 세 열벡터는 선형종속이기 때문에 C(A) = span([2, -4]) 이다. 행렬의 계수(Rank)는 행공간 또는 열공간의 차원을 말한다. 따라서, Rank(A) = 1이다. 행렬 A의 영공간을 구해보자. N(A) = {Ax=0}를 만족하는 A의 집합을 의미한다. Ax = 0을 구하기 위해서, 기약행사다리꼴 첨가행렬을 위와 같이 만들어서 계산해보자. 그러면 pivot 열이 1개가 되며, x1 = 0...

(1) 변환에서의 행렬식 일반적으로 행렬식은 열벡터가 만들어내는 평행사변형의 넓이와 같다고 했다. 변환에서의 행렬식이 가지는 의미는 무엇일까? 좌상단의 좌표에서처럼 {a, b, c, d}으로 나타낼 수 있는 직사각형이 있다고 해보자. 직사각형의 넓이는 k1*k2라고 할 수 있다. 2x2행렬을 변환하는 T(x) = [a b; c d](x)가 있다고 할 때, 이 직사각형을 변환해보자. 직사각형의 각 꼭지점을 변환하면, T([0, 0]) = [0, 0] T([k1, 0]) = [ak1, ck1] T([k1, k2]) = [ak1+bk2, ck2+dk2] T([0, k2]) = [bk2, dk2] 변환된 직사각형을 좌표 상에 나타내면 좌하단처럼 되게 된다. 이렇게 변환된 직사각형은 원본 직사각형의 image(상..

(1) 행렬식과 평행사변형 행렬 A = [a b; c d]라고 하면, 열벡터 v1 =[a, c], v2 = [b, d]로 표현할 수 있다. 두 열벡터를 좌표 상에 표현하면 우측 그림과 같이 되는데, 만들어지는 평행사변형의 넓이를 구해보자. 증명에 대한 내용은 알고 싶지 않고, 결론만 알고 싶다면 마지막 2줄만 읽으면 된다. 평행사변형의 넓이는 밑변 * 높이로 계산할 수 있고, 수식으로 표현하면 넓이 A = B(밑변) * H(높이) 이다. 이 때, B = ||v1|| 과 같다. 피타고라스 정리에 의해서, H² + ||proj(V2)||² = ||V2||² 이다. 이 때, proj(V2)는 v2가 v1에 투영한 값이다. proj(x) = {(x·v) / (v·v)} v 이기 때문에, (글 8-5 참조) pr..

(1) 행렬을 삼각행렬로 변형하여 행렬식 구하기 12-5에서 삼각행렬의 행렬식은 주대각선의 원소들을 곱해서 구할 수 있다고 했다. 이를 기반으로, 행렬 A와 같이 일반적이 nxn 행렬의 행렬식을 구하는 방법을 정리해보자. 12-4에서 j번째 행을 j번째 행 - i번째 행*c로 바꿔주더라도, 행렬식(A)의 값은 변하지 않는다고 했다. 행렬 A의 각 행들을 더하고 빼도 행렬식의 값은 변하지 않기 때문에, 상삼각행렬으로 변형해주자. | [1 2 2 1; 1 2 4 2; 2 7 5 2; -1 4 -6 3] | = | [1 2 2 1; 0 0 2 1; 0 3 1 0; 0 6 -4 4] | = -| [1 2 2 1; 0 3 1 0; 0 0 2 1; 0 6 -4 4] | (행의 위치를 바꾸면 행렬식의 부호가 바뀐다...