SInce 20180106

(1) 행렬 벡터와 벡터의 곱 m x n의 행렬이 있을 때, m은 행(row)의 개수이고 n은 열(column)의 개수가 될 것이다. m x n의 행렬 A(볼드체 대문자)가 있다고 해보자. A를 써보면, a11 ~ amn까지 m*n개의 성분이 있는 행렬이 될 것이다. 이러한 행렬에 어떤 벡터 x를 서로 곱한다는 것이 무엇을 의미하는지 알아보자. 벡터의 곱셈은 행렬 A에 곱하려는 벡터 x의 항목이 A의 열의 개수만큼 존재할 때만 가능하다. 그러니까 x는 다음과 같을 것이다. x = [x1; x2; ... ; xn] 벡터 x의 길이는 m과는 달라도 상관이 없지만, n개의 길이를 가져야만 한다. (n x 1) A와 x를 곱한 값을 써보면, [ a11×x1+a12×x2+...+a1n×xn a21×x1+a22×x..

(1) 행 사다리꼴 행렬을 활용하여, 변수가 4개인 3차연립방정식 풀기 4개의 미지수가 있는 3차연립방정식이 위와 같이 있다. 미지수는 4개지만 식이 3개밖에 없기 때문에, 해가 무수히 많게 될 것이다. 4차원 공간에서 위와 같은 상황이라면, 해는 3차원 평면으로 제한될 수 있다. 만약 3차원 공간에서 위와 같은 상황이면, 해는 2차원 선으로 제한될 것이다. 이 글에서는 위의 과정을 행렬을 활용하여 푸는 과정을 설명하고자 한다. 위의 식을 계수행렬로 만들면, 선형방정식 좌변에 있는 계수들과 해로 나타내면 된다.(노란색 계수행렬) 연립방정식의 해를 구하기 위해 기약행사다리꼴 행렬을 만들어보도록 하겠다. 기약행사다리꼴 행렬(Reduced Row Echelon form, rref)이란 1. 각 행의 선두 성분..

(1) 평면 사이의 거리 만약 평면 Ax-2y+z=d와 다음 직선들을 포함하는 평면 사이의 거리가 √ 6이라면 d는 무엇일까요? 라는 문제를 풀어보면서 평면과 평면 사이의 거리를 구하는 방법을 생각해보겠다. 평면 사이의 거리는 두 평면이 평행해야 구할 수 있다. 왜냐하면, 만약 그들이 평행하지 않다면 만나게 되기 때문에 거리는 0이 되기 때문이다. 거리가 √6으로 주어졌기 때문에, 두 평면은 만나지 않고 평행한다는 걸 알 수 있다. 그림을 그려보면, 위와 같이 평면 ax - 2y + z = d와 또다른 평행한 평면을 나타낼 수 있다. 한 평면은 직선 2개로 생성할 수 있기 때문에, 두 직선을 초록색과 노란색으로 그려보겠다. 이제 어떻게 거리를 구할 수 있을까? 두 평면은 평행하기 때문에 기울기가 같고 d..

(1) 평면 상에 있지 않은 점과 평면 사이의 거리 이전에는 평면상에 존재하는 점 혹은 법선벡터와 평면의 관계에 대해서 알아봤다. 이번에는 평면상에 있지 않은 점과 평면의 관계에 대해서 알아보겠다. 저번의 그림에서 이어지기 때문에, 그대로 활용하였다. 평면상에 존재하지 않는 점 (x0, y0, z0)가 있다. 위치벡터로 표현하면 x0i+y0j+z0k 의 식을 가지게 된다. 이 점과 평면 사이의 거리를 구해보도록 하자. 일반적으로 거리를 구한다고 할 때는 보통 최단거리를 의미하는 것이다. 평면에 수직할 때 최단거리를 구할 수 있다. 평면상에 존재하는 점 (xp, yp, zp)와 (x0, y0, z0) 사이의 벡터를 만들어보자. 평면상에서 시작하여 그 꼬리는 평면에 있고 평면 밖으로 벗어나는 주황색 벡터 f..

(1) 평면 방정식(Equation of a plane)과 법선벡터(Normal vector) 이번 내용에서는 면에 관한 방정식이 주어졌을 때 법선벡터를 구하는 방법이다. 일단, 3차원 공간에 한 면이 있다고 가정하자. 이 면은 한정된 면이 아니라 모든 방향으로 계속해서 진행하는 면이다. 이 면에 대한 법선벡터(자홍색) n은 ai+bj+ck라는 식으로 표현될 수 있다. 이 법선벡터는 면 위에 존재하는 다른 벡터들과도 수직할 것이다. 면에 어떠한 점 (xp, yp, zp)가 있다고 해보자. 그렇다면 이 점에 대한 위치벡터 P1은 xpi+ypj+zpk로 표현될 것이다. 면 상의 임의의 다른 점을 (x, y, z)라 해보자. 이 점에 대한 위치벡터 P는 xi+yj+zk 로 표현할 수 있다. 이렇게 두 점과 벡..

(1) 벡터의 삼중곱(Triple product) 결말부터 말하면, A×(B×C)=B(A⋅C)−C(A⋅B) 라는 식이 성립한다. (BAC CAB여서 백켑이라고도 함) 외적에서는 결합법칙이 성립하지 않기 때문에 A×(B×C) != (A×B)×C 이다. 이 식이 성립하는 과정을 아래에서 직접 계산하여 증명해보도록 하겠다. 삼중곱을 간단히하면, 내적된 값으로 다른 벡터를 상수배하여 합과 차를 한 식이 된다. 이게 무슨 말인지는 아래의 수식을 따라가면 이해할 수 있다. 벡터 a는 (a의 x성분에 단위벡터 i를 곱한 것)과( a의 y성분에 단위벡터 j와 곱한 것)과 (a의 z성분에 단위벡터 k를 곱한 것)을 다 더한 것이라고 할 수 있다. b와 c에 대해서도 똑같이 적용할 수 있다. b와 c의 외적을 계산하기 위..

(1) 내적의 직관적 이해 지난 내용들에서 0이 아닌 벡터 a, b의 내적이 ||a||||b||cosθ와 같다고 했다. a와 b를 노란색 화살표로 그려보고, 그 사잇각을 θ라 해보자. aㆍb = ||a||||b|| cosθ 이므로, 양변을 ||a||||b||로 나눠주고, 아크코사인을 취한다면, θ=arccos(aㆍb / ||a||||b||)이 된다. 만약 임의의 두 벡터가 주어진다면, 몇차원이든지 위 식을 계산하면 두 벡터간의 사잇각 θ을 구할 수 있다. 그리고 3차원 공간에서 두 벡터의 외적 식에서 ||a×b|| = ||a||||b||sinθ 를 알고 있다. 위의 두 식을 활용해서, 내적과 외적을 직관적으로 이해해보는게 이 글의 목표이다. 벡터 a와 b를 초록색으로 그려보자. 이 때, ||a|| ||b..

(1) 벡터의 외적과 사인값의 관계 이번에는 외적의 정의와 Sin값 사이의 관계에 대해서 알아보도록 하겠다. 영벡터가 아닌 두 벡터의 내적에 대해서 aㆍb = ││a││×││b││ x cosθ가 성립한다고 했다. (θ는 두 벡터 사이의 각도) 두 벡터의 외적에 대해서 ||a x b|| = ||a|| × ||b|| x sinθ 가 성립한다. (θ는 두 벡터 사이의 각도) 내적은 cos이고 외적은 sin이다. 일단, 외적은 R3에서만 정의된다. 따라서, 벡터 a를 [a1, a2, a3], 벡터 b를 [b1, b2, b3]라고 가정하자. 그러면 두 벡터의 외적은 [a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁]이 된다. 벡터의 길이의 제곱은 자기 자신을 내적한 값이므로, X₁ ~ Xn까지..

(1) 벡터의 외적 (Cross Product) 한줄 요약 : 외적은 두 벡터와 직교하는 벡터값이다. 이전에는 계속 내적에 대한 내용이었는데, 이제는 외적에 대한 내용을 추가해보려고 한다. 내적은 어느 차원에서든지 정의가 되어있어서, Rn에 있는 어느 벡터든지 내적값을 구할 수 있었다. 하지만 외적은 오직 R3에서만 정의가 된다. 내적의 결과는 스칼라였지만, 외적의 결과는 벡터가 된다는 점 역시 다르다. R3에 존재하는 벡터 a를 [a₁, a₂, a₃]라고 하고, 벡터 b를 [b₁, b₂, b₃]라고 하자. 그렇다면, a x b(외적)는 [a₂ × b₃ - a₃ × b₂, a₃ × b₁ - a₁ × b₃, a₁ × b₂ - a₃ × b₂]가 된다. 서로 교차하여 계산한다고 생각하면 된다. 예를 들어, 벡..

(1) 3차원 공간의 면의 방정식 3차원 공간에서 면의 방정식에 관하여 살펴보자. 임의의 각도에서 모든 방향으로 계속해서 진행되는 면을 그리면, 이 면의 방정식은 ax + by + cz = d 라는 x, y, z로 이뤄진 일차함수가 된다. 면 상의 모든 점 x, y, z는 이 식을 만족한다. 면에 존재하는 점 (x0, y0, z0)가 있다고 정의해 보자. 이 점을 지나가는 면은 무수히 많기 때문에, 이 점 만으로는 면을 정의할 수는 없다. 하지만 점을 정하고, 그 점에서 면으로 직각인 벡터(법선벡터 n)를 명시한다면, 면의 방정식을 구할 수 있다. 법선벡터는 단순히 말하면 면의 모든 벡터에 직각을 이루는 벡터이다. 면 위의 노란색 벡터(a)가 있다고 가정하고, 법선벡터(n)가 있다면, 우리는 벡터 각도의..