SInce 20180106

(1) 고유값 구하기 예제. 앞에서 Av = λv (v는 영벡터가 아닐때)라면, det(λIn - A) = 0의 필요충분조건이라고 했다. 즉, 판별식 det(λIn - A) = 0 이라면 λ는 A의 고유값이라는 것이다. 예를 들어, A = [1, 2; 4, 3] 이라고 해보자. 판별식을 계산해보면, det([λ-1 -2; -4 λ-3]) = 0 이 성립해야한다. (λ-1)(λ-3) - 8 = 0 식을 풀어보면, λ = 5 or λ = -1 이 된다. 고유값 λ는 구했지만, 고유벡터는 무엇인지 구하지 못했다. 뒤에서 고유벡터를 구하는 것도 알아보자.

(1) 고유값 결정식 Rn에서 Rn으로 사상하는 변환 T가 있고, T(x) = Ax와 같이 표현할 수 있다. 벡터 v에 대해서 변환을 취하면, Av가 되고, 이 결과는 v에 어떤 계수 λ만큼 곱해진 λv가 된다고 해보자. 이를 만족하는 벡터 v를 고유벡터(eigen vector)라고 하고, 계수를 고유값(eigen value)라고 한다. 고유벡터나 고유값을 구하기 위해서는, Av = λv를 만족하는 해를 구해야 하는데, 이를 어떻게 구할 수 있을까? v가 영벡터이면 된다. v가 영벡터라면 방정식을 확실히 만족하게 되지만, 부분공간을 생성하는 기저벡터의 수가 늘지 않기에 기저에 어떤 것도 추가하지 못하며, 고유값도 어떤 값이든 다 될 수 있다. 따라서, 의미있는 정보를 갖지 못하는 v=0을 제외하고, 영벡..

(1) 고유값, 고유벡터 (eigenvalue, eigenvector) 앞에서 계속 벡터를 변환하는 것에 대해서 알아봤다. Rn -> Rn인 변환 T가 있을 때 T(v)라고 한다면, Av를 해서 벡터의 방향과 길이를 바꿔주곤 했다. 그래프 상에 표현해보면, v1 = [1, 2]이고, v1를 길게해서 나타낸 직선 L이 있다. 벡터 x가 있다면 L에 대해서 대칭을 해서 T(x)를 구하곤 했다. 고유값과 고유벡터도 선형변환에서 똑같이 나오는 개념이다. 그런데, 고유값과 고유벡터는 선형변환을 할 때, 벡터의 길이만 바뀌었을 때의 값이다. 예를 들어, v1을 L에 대해서 변환하는 T(v1) = 1 * v1이다. (v1이 L 상에 있기 때문) 이 때, v1을 고유벡터, 1을 고유값이라고 한다. 예를 들어, v2 =..

(1) 그람 슈미트 예제 저번의 예제에서 조금 확장해서, R4 공간에서 벡터 3개로 생성되는 부분공간 V의 정규직교기저를 구해보자. V = span([0 0 1 1], [0 1 1 0], [1 1 0 0]) 이다. u1 = v1 / ||v1|| ||v1|| = √2 u1 = 1/√2 [0 0 1 1] u2 = y2 / ||y2|| y2 = v2 - projV1v2 = v2 - (v2 ⋅ u1)u1 = [0 1 1/2 -1/2] ||y2|| = √3/2 u2 = √2/3[0 1 1/2 -1/2] V = span(v1, v2, v3) = span(u1, v2, v3) = span(u1, y2, v3) - u1은 정규화되었고, y2는 직교기저이다. = span(u1, u2, v3) - 여기까지 구했다. u3 ..

(1) 그람슈미트 예제 저번에 정규직교기저를 생성하는 과정을 정리했는데, 이를 그람 - 슈미트 과정이라고 한다. 좀 더 구체적인 예시를 들어서 보면, 이전에 모호했던 것이 좀 더 직관적으로 이해가 되지 않을까 싶다. V라는 평면이 x1 + x2 + x3 = 0 이라는 식을 만족한다고 하자. x1 = -x2 - x3 x2 = c1 x3 = c2 x1 = -c1 -c2 이다. V = {[x y z] = c1[-1 1 0] + c2[-1 0 1]} 으로 표현할 수 있다. V의 기저는 [-1 1 0], [-1 0 1] 이 된다. 이건 정규직교기저는 아니고 그냥 기저일 뿐이다. V = span( [-1 1 0], [-1 0 1] ) 이다. V1 = span(v1) = span(u1) 이라고 했기 때문에, u1 =..

(1) 그람-슈미트 과정 V의 기저인 v1, v2, ..., vk가 있다. v들은 정규직교기저는 아니지만, 정규직교기저로 만드는 방법을 그람-슈미트 과정이라고 한다. V1 = span(v1) 이라고 할 때, 정규직교기저 u1 = v1 / ||v1|| 을 하면 구할 수 있다. ||u1|| = ||v1 / ||v1|| || = ||v1|| * 1 / ||v1|| = 1 그래서 {u1} 은 V1의 정규직교기저가 된다. 따라서, V1 = span(v1) = span(u1) 이다. (v1≠u1) 2차원으로 확장해서 정규직교기저를 구해보자. V2 = span(v1, v2) 인데, u1도 v1과 같은 방향의 정규직교기저이기 때문에, V2 = span(u1, v2) 라고 쓸 수도 있다. 그래프를 그려서, 평면 Rn이 ..

(1) 직교기저변환과 길이와 각도 변화 C가 n x n의 정사각행렬이고, 열들이 정규직교집합을 형성한다고 하자. 각 열벡터들은 모두 길이가 1이고, 모두 서로 직교한다. 따라서, 어떤 열을 다른 열과 내적하면 0이 되고, 자기자신과 내적하면 1이 된다. 이러한 행렬을 직교행렬이라고 한다. 직교행렬의 역행렬은 전치행렬과 같다. 앞에서는 이를 기저변환에 주로 활용했다. x를 표준기저라고 하면, 다른 기저의 좌표로 x를 나타낸 [x]B는 기저변환된 좌표라고 할 수 있다. x를 [x]B로 변환하려면 C-1을 곱하고, [x]B를 x로 변환하려면 C를 곱하면 된다. 이는 선형변환이고, 직교행렬에서는 어떤 벡터를 변화시키더라도 길이와 각도가 보전된다는 것을 이 글에서 보이고자 한다. 그림으로 표현하면 분홍색 벡터 x..

(1) 직교기저 변환행렬 구하기 및 그 활용 모든 열벡터들이 정규직교집합을 형성하는 행렬 C가 있다. C가 n x k 행렬일 때, CTC = Ik가 된다고 했다. (대각선 성분을 제외한 모든 것들이 상쇄되어 0이 된다.) 만약, C가 k=n 인 정사각행렬이라면 어떻게 될까? C의 모든 열들은 서로 선형독립이고, C는 가역성을 지닌다. 또한, n개의 열들은 Rn의 기저가 된다. C-1C = In 이고, CTC = In이기 때문에, C-1 = CT가 된다. 결론적으로, n x n 행렬의 열들이 정규직교집합을 형성한다면, C-1 = CT 이다. 어떤 벡터 v1, v2, v3이 있고, 이 벡터들은 모두 단위벡터이고 정규직교집합을 형성하며, R3의 정규직교기저가 된다. v1과 v2에 의해 생성된 평면 V가 있다고..

(1) 정규직교기저 활용해서 정사영 계산하기 저번 글에서 정규직교기저가 있을 때, 부분공간 V에 대해 Rn의 벡터 x의 정사영을 찾고 싶다면 projVx = AATx로 표현할 수 있다고 했다. A = [v1, v2, ..., vk] 이므로, 기저벡터를 열로 가지고 있는 행렬이다. V가 span([1/3, 2/3, 2/3], [2/3, 1/3, -2/3])의 공간이라고 하자. 두 벡터의 길이를 계산해보면 1이고, 서로 직교한다는 것을 알 수 있다. 따라서, v1, v2는 V의 정규직교기저이다. 부분공간은 R3의 평면이고, v1 v2가 정사영한다고 해보자. A가 v1, v2를 열벡터로 가지는 행렬로 만들어보자. A = [1/3, 2/3, 2/3; 2/3, 1/3, -2/3] projVx = AATx = 1/..

(1) 정규직교기저로 정사영 계산하기 저번 글에서 정규직교기저가 좋은 좌표계, 즉 좌표를 쉽게 알 수 있는 좌표계를 만드는 것을 보았다. 정규직교기저를 활용하면 유용한 다른 이유들에 대해서 알아보자. 어떤 부분공간 V가 Rn의 부분공간이고, B = {v1, v2, ..., vk}라는 V의 정규직교집합 B가 있다. x ∈ Rn 이면, x = v + w = projvx + w 와 같이 표현할 수 있었다. 이 때, v ∈ V 이고 w ∈ V⊥ 이다. (x는 V 상에 존재하는지 알 수 없다.) 기저 벡터들을 열로 가지고 있는 행렬 A가 있다고 하자. A = [v1, v2, ..., vk] 행렬이라면, x를 부분공간 V에 정사영한 벡터를 찾기 위해서 projVx = A(ATA)-1ATx 라는 식을 계산해야 했다...