15-2. 평면에 대한 정사영 일반화 및 시각화

(1) 평면에 대한 정사영 일반화

이전에 정의했던 정사영를 확장하기 위해 새롭게 정사영을 정리해보고자 한다.

 

이전에는 projLx는 x - projLx가 L에 직교하는 L위에 있는 벡터라고 했다. (노란색 글씨)

 

그래서 아래의 그림과 같이 직선 L이 있고 벡터 x가 있다면, 정사영은 자홍색 벡터가 되고 x-projLx를 한 벡터는 L에 직교한다고 했다.

 

 

이를 좀 더 일반화해보자.

 

직선 L이 있고, 벡터 x가 있고, x-projLx를 w라고 하고, projLx를 v라고 해보자.

 

그러면 정사영 ProjLx는 x-v=w 이고, w는 L의 모든 벡터와 직교하는 벡터라고 할 수 있다.

 

w는 L⊥의 원소라고 할 수 있다.

 

 

(2) 정사영의 시각화

위에서 일반화했으니, 이를 확장해서 직선이 아닌 평면에서 적용해보자.

 

3차원 공간에 평면 부분공간인 V가 있다.

 

V⊥인 직선이 있고, 초록색 벡터 x가 있다. (x는 그림에서는 V위에 있어 보이지만, 평면 V위에 있는 벡터는 아니고 떠 있다.)

 

이 때, x를 V에 정사영한 ProjVx = v라 하고, w를 핑크색 벡터로 표현할 수 있다.

 

 

ProjVx는 x = v+w (V⊥의 고유 원소인 w)로 표현할 수 있고, v는 V의 고유원소이다

 

그래서, projVx 는 x - projVx가 V의 모든 원소에 대해 직교하도록 하는 V의 고유원소이다.

 

앞에서 정의한 바가 3차원 상의 평면공간에서도 잘 적용되고 있음을 볼 수 있다.

 

 

이 정의는 R3뿐만 아니라 Rn 또는 R100까지도 모두 적용할 수 있다.

 

다시 한 번 정리하면 다음과 같다.

 

x의 V에 대한 정사영은 V에 있는 어떤 고유벡터이고, x-projVx는 V에 있는 모든 벡터와 직교한다.

 

따라서, x - projVx ∈ V⊥ 이다.

 

 

뒤에서는 모든 임의의 부분공간에 대한 정사영이 일차변환이라는 걸 증명해볼 계획이다.