15-1. 부분공간에 대한 정사영(개요)

(1) 부분공간에 대한 정사영(개요)

예전에 8-5에서 정사영에 대해서 간략하게 보고 넘어갔다.

 

그 때는 직선에 대한 정사영이었지만, 이번에는 부분공간에 대하여 정사영을 해볼 생각이다.

 

 

이전의 정사영에 대한 내용을 간단하게 다시 써보면,

 

직선 L은 벡터 v의 생성으로 만들 수 있는 직선이면서 부분공간으로 표현할 수 있다.

 

그리고 벡터 x가 있을 때, L에 정사영을 하게 되면 

 

projL(x) = ((x·v)/(v·v))*v 로 구할 수 있었다. (v는 L의 생성벡터가 일반적.)

 

 

추가적으로 V가 Rn의 부분공간이라고 한다면, V의 직교여공간도 Rn의 부분공간이었다.

 

그리고 V와 V⊥의 합으로 Rn의 모든 원소를 표현할 수 있었다.

 

 

마지막으로 x를 V에 정사영하면 V 상에 존재했고, x를 V⊥에 정사영하면 V⊥ 상에 존재했다.

 

 

14-8에서 사용했던 예제를 그대로 가져왔다.

 

A = [3, -2; 6, -4] 이고, b=[9, 18]일 때

 

N(A) = span([2, 3])

C(AT) = span([3, -2])

Ax=b의 해집합 = [3, 0] + span([2, 3]) 이 된다.

 

이 세 식을 그래프 상에 표현해보면

 

영공간은 자홍색, 행공간은 초록색, 해집합은 파란색으로 나타낼 수 있다.

 

앞에서 말한 바와 같이, 노란색 점과 같이 Rn상의 한 점이 있다면 N(A)와 C(AT)의 덧셈으로 구할 수 있다.

 

N(A) = C(AT)⊥

N(A)⊥ = C(AT)

 

도 성립한다.

 

이것들을 활용해서 14-8에서 구한 것처럼 정사영을 활용하여 Ax=b의 가장 짧은 해를 구할 수 있는지 알아보자.

 

그래프 상에서 보면, 노란색 벡터를 해집합 직선의 정사영 값이라고 볼 수도 있기 때문에 구할 수 있을 것 같다.

 

해집합에 존재하는 임의의 원소 s(핑크색)는 r + n 으로 표현할 수 있었다.

 

(r은 C(AT)인 행공간의 원소, n은 N(A)인 영공간의 원소이다.)

 

C(AT)에 대한 s의 정사영은 r과 같다

 

왜냐하면 앞에서 말한 바와 같이 임의의 벡터 x를 V에 정사영하면 V 상에 존재하기 때문이다. (n=0이 된다는 말)

 

 

 

어떤 s를 사용해도 괜찮지만, 가장 간단한 s인 [3, 0]을 활용하면 최단벡터인 노란색벡터를 구할 수 있다는 말이다.

 

(간단한 [3, 0]이 아니라, 해집합의 원소 [5, 3], [7, 6] 모두 정사영을 하면 같은 결과가 나오게 된다.)

 

 

projL(x) = ((x·v)/(v·v))*v  에 대입해주자.

 

x = [3, 0], v = [3, -2] 이므로, (v는 행공간의 생성벡터가 된다. [6, -4], [9, -6]을 넣어줘도 된다. 식이 복잡해질 뿐이다.)

 

노란색 벡터인 r은 [27/13, -18/13]이 나온다.

 

14-8에서 구한 값과 완전히 같은 값을 얻을 수 있다.

 

 

 

직선에 대한 정사영을 이용하여 부분공간의 정사영을 구해보았다.

 

하지만 여기에서는 임의의 부분공간에 대한 정사영을 완벽하게 정의한 것은 아니다. (그래서 제목을 개요라고 썼다.)

 

만약 부분공간이 직선이 아니라면 어떻게 접근하여 계산할지는 아직 알지 못한다.

 

또한, 이게 명확히 선형변환인지 일반화되지도 않았다. (물론, 직선에 대한 정사영은 선형변환이긴 하다.)

 

이런 것들을 뒤에서 하나씩 정의해나가면서 알아볼 생각이다.