15-3. 부분공간에 대한 정사영은 선형변환

(1) 부분공간에 대한 정사영이 선형변환인 것을 증명하기

V를 Rn의 부분공간이라고 하자.

 

V의 기저에는 {b1, b2, ..., bk}가 있게 될 것이고, k는 n개의 항을 갖는 열벡터이다.

 

V의 원소 a가 있다면, 기저벡터를 활용하여 a = y1b1 +y2b2 + ... + ykbk의 형태로 나타낼 수 있다.

 

이를 식으로 표현해보면,

 

nxk인 A = [b1, b2, ..., bk]이고, y = [y1, y2, ..., yk]일 때, Ay = a의 형태로 V의 원소 a를 표현할 수 있다.

 

Rn의 원소 x가 있다면, x를 V에 정사영한 projVx는 정의에 따라서 V 상에 존재하게 된다. (앞 글 참조)

 

따라서, ProjVx = Ay의 형태로 표현할 수 있다.

 

그리고, 앞에서 정리한 바와 같이 x는 projVx와 projV⊥x의 형태로 표현할 수 있다. (projV⊥x를 간단히 w라고 표현)

 

x = projVx + w 이고,

 

x - projVx = w 이므로,

 

x - projVx ∈ V⊥가 된다.

 

C(A) = V이기 때문에, V⊥= C(A)⊥ = N(AT)가 성립한다.

 

따라서, x - projVx ∈ N(AT) 이다.

 

x - projVx ∈ N(AT)이므로,

 

AT(x - projVx) = 0 이고,

 

ATx - ATAy = 0 이 된다. (projVx = Ay)

 

ATx = ATAy 에서 AT의 역행렬이 존재한다면, y에 대한 식을 구할 수 있다.

 

앞의 글에서 언급한 바와 같이 A의 열이 선형독립이라면 ATA는 항상 가역적이다. 

 

따라서, (ATA)-1을 양변에 곱해줄 수 있다.

 

y =  (ATA)-1ATx 이다.

 

x를 부분공간 V에 대해 정사영한 것은 Ay이므로,

 

Ay = A(ATA)-1ATx 로 표현할 수 있다.

 

결론적으로, 부분공간에 대한 정사영은 선형변환이라는 것을 알 수 있다.

 

또한, V에 대한 기저가 주어졌을 때, 임의의 행렬 A의 열과 동일한 열벡터를 만들 수 있음도 알 수 있다.

 

 

 

정사영에 대한 식이 복잡해보이지만, 이를 계산한다면 임의의 관착자가 3차원 물체를 볼 때 어떻게 볼 것인지 알 수 있다.

 

예를 들어, 위와 같은 정육면체가 있을 때, 시점에 따라서 어떻게 보일지를 계산할 수 있다.