15-4. 정사영은 부분공간에 가장 가까운 벡터

(1) x를 정사영한 벡터는 x와 부분공간이 가장 가까운 벡터 

 

R3에 있는 평면 부분공간 V를 그려보면 위와 같다.

 

이 때, 파란색 벡터 x가 있고, x를 V에 정사영한 벡터가 부분공간의 벡터 중에서 x에 제일 가까운 벡터가 된다.

 

x를 V에 정사영하면 연두색 벡터가 나오고,

 

V에 있는 임의의 벡터 v를 핑크색으로 그려봤다.

 

x와 projVx의 거리는 주황색벡터 a로 표현할 수 있고,

 

x와 v의 거리는 자홍색벡터 x-v로 표현할 수 있다.

 

V 상에 존재하는 projVx와 v의 거리는 노란색 벡터 b로 표현할 수 있다.

 

 

그림 상에서는 x - projVx가 x-v보다 짧아보이는데, 진짜 그런지 수식으로 계산해보자.

 

x - projVx = a 이고,

 

||x-v||² = ||b+a||² = (b+a)⋅(b+a) = b⋅b + 2a⋅b + a⋅a = b⋅b + a⋅a (a와 b는 직교하기 때문에 내적값이 0.)

 

따라서, ||x-v||² = ||b+a||² = ||b||² + ||a||²

 

 ||b||² + ||a||² ≥ ||a||²

 

따라서, ||x-v||² ≥ ||a||²

 

||x-v|| ≥ ||a||

 

a = x - projVx 이므로

 

||x-v|| ≥ ||x - projVx||

 

 

결론적으로, x를 V에 정사영한 벡터가 부분공간의 벡터 중에서 x에 제일 가까운 벡터가 된다.