SInce 20180106

(1) 정규직교기저에 대한 좌표 앞에서 정규직교기저가 무엇인지 알아보았다. 그러면 정규직교기저를 어떻게 활용하는지 알아보자. 정규직교기저의 여러 용도 중 하나로 정규직교기저는 좋은 좌표계 혹은 좋은 기저로 사용될 수 있다는 것이다. Rn의 표준 기저를 적어보면, Rn = {[1, ... 0], [0, 1, ..., .], ... , [0, ..., 1]} 과 같이 표현할 수 있다. 각 원소들은 길이가 1이고, 다른 원소와 내적하면 0이 되며, 자기 자신과 내적하면 1이 된다. B = {v1, v2, ..., vk} 와 같이 정규직교집합이 있다. B는 부분공간 V의 정규직교기저이다. B에는 k개의 기저 벡터가 있기 때문에, V는 k차원 부분공간이라는 것을 알 수 있다. B의 벡터들로 이루어진 좌표계를 좋은..

(1) 정규직교기저(Orthonormal basis) 집합 B에는 v1, v2, ..., vk의 벡터가 있고, 이 벡터들은 모두 길이가 1인 벡터라고 하자. 그래서 ||vi|| = 1 이고, ||vi||² = 1 이다. 모든 i에 대해 vi와 vi의 내적이 1이기도 하다. (i는 1~k가 될 수 있다.) 이를 정규직교집합이라고 하는데, 정규직교집합의 특징은 3가지가 있다. 1. 모든 벡터들의 길이가 1이다. 즉, 모두 정규화된 단위벡터이다. 2. 모든 벡터들이 서로 직교한다. (vi와 vj를 내적하면 1이 된다.) 그래서 i = j이면 vi · vj = 0, i ≠ j 이면 vi · vj = 0 이 된다. 3. 모든 벡터들은 선형독립이다. 만약 집합 B가 정규직교집합이라면, B는 선형독립이 된다고 했다...

(1) 앞의 내용 총 정리 지난 번의 내용을 간단하게 복습, 요약정리하고 예제를 적용해보자. Rn에서 Rn으로 사상하는 선형변환 T가 있다면, 표준좌표의 임의의 벡터 x에 A를 곱한 것이라고 나타낼 수 있다. 그리고, Rn의 기저 집합 B = {v1, v2, ..., vn} 이 있다. 그러면 n개의 선형독립하는 벡터가 있고, 이들을 비표준 기저라고도 할 수 있다. C = [v1, v2, ..., vn] 과 같이, 기저 B를 위한 기저행렬의 변화라고 한다. C[x]B = x [x]B = C-1x 이를 하나의 그림으로 나타낼 수 있다. 표준기저좌표에 x가 있다면, A를 곱하면 선형변환을 한 T(x)를 구할 수 있다. 표준기저좌표 x에 C-1을 곱하면, B에 대한 좌표 [x]B를 구할 수 있다. B에 대한 좌..

(1) 기저의 변환행렬 Rn에서 Rn으로의 사상(mapping)인 선형변환 T가 있다고 하자. 좌표는 여러 개의 좌표계에서 표현될 수 있지만, 여기서의 x는 표준기저좌표에서 표현되는 것이라고 생각하자. 그러면 T(x) = Ax 이고, A는 표준기저에 관해서 변환 T를 위한 변환행렬이 된다. 이 때, 기저집합 B = {v1, v2, ..., vn} 이고, B가 Rn의 기저라고 한다면 [T(x)]B = D[x]B 와 같이 표현할 수 있고, D는 기저 B에 관하여 변환 T를 위한 변환행렬이 된다. 이전에 했던 것과 같이 C = [v1, v2, ..., vn] 이라고 하자. 그러면 C[x]B = x [x]B = C-1x 가 성립한다. [T(x)]B = D[x]B 에서 D[x]B = [T(x)]B = [Ax]B ..

(1) 기저변환행렬의 가역성 이전 글과 같이 B = {v1, v2, ..., vk} 인 기저벡터 집합이라고 하자. 그리고 n x k의 기저변환행렬 C가 있다. 벡터 a를 B에 대하여 나타내면, 기저변환행렬의 곱 형태로 나타낼 수 있었다. C [a]B = a 기저변환행렬 C에 역행렬이 존재한다고 가정해보자. 그러면, C는 정사각행렬로 k = n인 n개의 n차원 기저벡터의 형태로 표현할 수 있게 된다. 그리고, 선형독립이게 된다. (열벡터가 부분공간의 기저를 이루기 때문이다) 만약 C가 가역적일 때, B의 생성(span)을 구해보면 Rn이 된다. (역행렬이 존재한다면 기저벡터의 선형결합을 이용하여 Rn의 어떤 벡터라도 만들 수 있기 때문) 반대로 만약 B의 생성이 Rn일 때, C는 가역적이라는 것도 성립한다..

(1) 기저변환행렬 기저집합 B = {v1, v2, ..., vk}가 있다고 해보자. 벡터 a를 B에 대하여 표현해보면, [a]B = [c1, c2, ..., ck] 이다. a = c1v1 + c2v2 + ... + ckvk의 선형결합 형태로 표현할 수 있다. 이 때, n x k의 행렬 c = [v1, v2, ..., vk]로 표현할 수 있다. C를 기저변환행렬이라고 한다. 기저변환행렬에 [a]B를 곱하면, a가 나오게 된다. 이것을 활용하면, a가 무엇이냐는 질문에 대해 간단하게 C를 기저벡터에 곱해서 표준좌표 a를 구할 수 있다. 반대로, [a]B가 무엇이냐는 질문에 대해서도 C를 활용하여, B에 대한 a의 좌표인 [a]B를 구할 수도 있다. 이렇게, 임의의 기저에 대한 좌표로 표현된 벡터에서 표준좌..

(1) 기저에 대한 좌표 Rn의 부분공간 V가 있고, B는 V의 기저라고 하자. a∈V라고 할 때, a는 기저벡터들의 선형결합의 형태로 표현할 수 있다. a = c1v1 + c2v2 + ... + ckvk 만약, 기저벡터들을 그래프의 축이라고 생각해본다면, 벡터 a를 기저 집합 B에 대한 좌표들로 쓸 수도 있다. 이를 수식으로 표현해보면 [a]B = [c1, c2, ..., ck] 와 같이 괄호안에 써서 B라는 기저집합에 대해 표현할 수 있다. 여기서 V가 n차원의 부분공간인데 왜 B가 k차원인지 궁금할 수도 있다. 예를 들어서 생각해보면 간단하다. R3라는 공간에 부분공간은 2차원 평면일 수도 있고, 3차원일 수도 있다. 따라서, k는 n보다 작은 값이 되게 된다. 그래야 a라는 벡터가 Rn의 원소이더..

(1) 예제1. 세 직선사이에서 최소 거리가 되는 점 위와 같이 세 직선의 방정식이 있다. y에 대해 정리해보고, 그래프 상에 그려보면, 세 직선이 만나는 한 점은 존재하지 않는다. Ax = b 의 해가 없는 경우이기 때문에, Ax* = b의 형태로 세 직선과의 거리가 가장 가깝게 하는 근사값을 구해볼 수 있다. 2x - y = 2 x + 2y = 1 x + y = 4 를 Ax = b의 형태로 표현해보면 [2, -1; 1, 2; 1, 1] [x, y] = [2, 1, 4] 가 되어야 한다. ATAX* = ATb의 식을 계산해주면, X*을 구할 수 있다. ATA = [2 1 1; -1 2 1] [2 -1; 1 2; 1 1] = [6 1; 1 6] ATb = [2 1 1; -1 2 1][2; 1; 4] = ..

(1) 정사영을 활용하여 최소 제곱 근사값 구하기 임의의 n x k 행렬 A가 있고, Ax = b라는 식이 있고 해가 없다고 하자. x는 Rk의 원소이고, b는 Rn의 원소일 것 이다. Ax = b의 해가 없다는 것은 무슨 의미일까? Ax = b라는 식은 [a1, a2, ..., ak] [x1; x2; ... ; xk] = b 처럼 열벡터와 x의 곱의 표현 할 수 있고, 해가 없다는 것은 어떠한 x를 곱해도 b를 만들 수 없다는 것이고, b가 C(A) 상에 존재하지 않는 다는 의미와 같다. (열벡터의 어떤 선형결합으로도 b를 만들 수 없기 때문) 이를 그림으로 표현하면, C(A)라는 평면이 있고 b라는 벡터는 열공간에 존재하지 않으면서 원점에서 뻗어나가는 벡터로 표현할 수 있다. b라는 해는 구할 수 없..

(1) x를 정사영한 벡터는 x와 부분공간이 가장 가까운 벡터 R3에 있는 평면 부분공간 V를 그려보면 위와 같다. 이 때, 파란색 벡터 x가 있고, x를 V에 정사영한 벡터가 부분공간의 벡터 중에서 x에 제일 가까운 벡터가 된다. x를 V에 정사영하면 연두색 벡터가 나오고, V에 있는 임의의 벡터 v를 핑크색으로 그려봤다. x와 projVx의 거리는 주황색벡터 a로 표현할 수 있고, x와 v의 거리는 자홍색벡터 x-v로 표현할 수 있다. V 상에 존재하는 projVx와 v의 거리는 노란색 벡터 b로 표현할 수 있다. 그림 상에서는 x - projVx가 x-v보다 짧아보이는데, 진짜 그런지 수식으로 계산해보자. x - projVx = a 이고, ||x-v||² = ||b+a||² = (b+a)⋅(b+a)..