1-1. 벡터 (벡터와 실좌표공간)

1. 벡터란

 

벡터는 크기와 방향을 동시에 나타내는 것이다.

예를 들어 어떤 물체가 시속 5마일로 움직인다고 하면, 이는 벡터가 아니라 스칼라이다. 

 

즉, 단지 크기(속력)은 벡터가 될 수 없다.

 

방향을 가져서 시속 5마일의 속력으로 동쪽으로 움직이고 있다(속도)고 말해야 벡터가 될 수 있다.

 

선형대수의 장점은 2차원 뿐만 아니라, 3, 4, 5차원, 6차원 이상으로 원하는 만큼 확장할 수 있고,

 

상상하기 어려운 3차원 이상을 수학적으로는 표현하여 쉽게 다룰 수 있다는 점이다.

 

아까의 예로 다시 돌아와서, 시속 5마일+동쪽을 그래프에서 표현하는 방법은 5의 크기를 가지는 화살표를 그리는 것이다.

여기 표현된 크기는 단위마다 시간당 속력을 나타내며, 방향은 오른쪽(동쪽)을 향합니다

그리고 벡터에서 재밌는 점은 크기와 방향만 신경쓰면 된다는 점이다.

어디서 시작하는지 어디에 표현하는지 상관이 없다.

예를 들어 그림의 둘은 크기도 같으며 방향도 같기 때문에 완전히 같은 벡터이다.

 

 

일반적으로는 벡터를 변수로 표현한다면 소문자를 사용해 표현하며, 책에서는 굵은 글씨로 표현할 수 있지만 필기할 때에는 그냥 작은 화살표를 그 위에 그려주면 된다.

 

 

예를 들어 이 물체는 오직 수평 +5, 수직으로 0만큼 움직인 벡터 v는 (5,0)으로 표현될 수도 있다.

 

선형대수학에서는 일반적으로 열 벡터로 [5 0]과 같이 표현한다.

다시 말하면 첫 번째 좌표는 수평으로 얼마나 움직였는지 나타내고, 두 번째 좌표는 얼마나 수직으로 움직였는지를 나타낸다.

수평으로 +3만큼 움직이고 수직으로 +4만큼 움직인 벡터가 있다면 위와 같은 벡터 a 가 된다.

즉, 화살표의 시작(꼬리)부터 끝(머리)까지 얼마나 위로 또는 얼마나 오른쪽으로 움직였는지 문자 그대로 표현된다.

피타고라스 정리를 사용하면 이 벡터의 길이가 5라는 것을 구할 수 있다.

3차원 이상부터는 추상적이기 때문에 수학적으로 표현하는게 훨씬 낫다.

2. 실좌표공간

 

2차원 실수좌표공간을 표현하기 위해 R 왼쪽에 선을 하나 더 긋거나 굵은 글씨로 R²라고 적기도 한다.

 

2차원 실수좌표공간 R²에서 2는 다루는 차원(2차원)을 의미하고 R은 실수좌표공간을 의미한다.

2차원 실수좌표공간은 실수값을 가진 모든 2-튜플을 말한다.

2-튜플이 뭘까요?

튜플은 순서가 정해진 숫자들의 리스트이기 때문에, 2-튜플은 숫자 2개의 순서리스트이자 실수 2개의 순서리스트가 된다.

 

(3, 4)라는 2-튜플은 둘 중 어느것도 허수가 아니면서 순서대로 3과 4를 가지고 있다.

 

만약 순서가 (4, 3)으로 바뀌면 다른 2-튜플이 된다.

 

이런 2-튜플은 2차원 벡터와 같은 개념으로 여겨질 수 있다.

 

그러므로 R²를 다룬다는 것은 모든 가능한 실수값을 가지는 2-튜플을 다루는 것이다

따라서 실수 공간위의 모든 벡터들이 어디에 있는지 알 수 있으며,  그 벡터는 각 성분들은 실수로 이루어져 있다

모든 2-튜플들을 조합하면, 2차원 실수좌표공간도 만들어낼 수 있다는 말과 동일하다.

이것이 R²이다

여기에 2라고 적었지만 더 나아가 3이라고 적는 다면, R³는 3차원 실수좌표공간을 표현하는 것이다.

예를 들어, 열 벡터 x는 [0 0 0]은 R³ 상의 벡터이며, b벡터는 열 벡터 [-1 5 3]과 같은 형태가 있다고 하면

x벡터와 b벡터는 둘 다 R³ 상의 벡터이다.

조금 더 덧붙이자면 x벡터와 b벡터는 R³이라는 집합의 원소라고 할 수 있죠

그리고 이것은 실수값을 가지는 3-튜플이다.

 

만약 허수 성분을 가진 열 벡터 [ i 0 1]가 있다면, 이는 실수가 아니기 때문에 R³ 상의 벡터가 아니다.

 

우리는 3차원을 넘어서서 4차원, 5차원, 6차원, 7차원, 20차원, 100차원 까지 계속해서 차원을 확장할 수 있다

 

이를 시각화하는것은 불가능하더라도, 우리는 적어도 그것을 n-튜플 벡터라고 수학적으로 표현할 수 있다.

한마디로 요약하자면, 일반적으로 실수좌표공간에 대해 이야기할 때 종종 Rⁿ이라는 표현을 볼 수 있다

Rⁿ은 n차원을 의미한다.

n차원 실수좌표공간이요

 

 

참고 : https://ko.khanacademy.org/math/linear-algebra