8-5. 정사영(Projection)

(1) 정사영(Projection)

 

원점을 지나는 직선 L을 평면 R²에 초록색으로 그려보자.

 

직선 위에 존재하고 원점을 지나는 벡터 v를 분홍색으로 그려보자.

 

그러면, 직선 L은 v에 실수 c를 스칼라배한 값들의 집합이라고 표현할 수 있다. 

 

L = {cv | c∈R}

 

그리고 원점을 지나는 벡터 x를 주황색으로 그려봤다.

 

직선 L에 수직으로 비추는 빛이 있다면, 벡터 x에 의해 정사영된 x는 proj(x)라 할 수 있다.

 

proj(x)는 벡터 x가 L에 만드는 그림자와 같은 느낌이라고 생각하면 된다.

 

그리고 x에서 L로 수선을 그릴 수 있고, 분홍색 수선은 벡터 x에 proj(x)를 뺀 것이 된다.

 

즉, L에 대한 x의 정사영을 뺀 것이다.

 

분홍 벡터가 직선 L과 수직이라는 것은 직선 상에 있는 모든 벡터와 수직이라는 의미이고, 둘의 내적이 0이라는 것을 의미한다.

 

 

proj(x)를 그림자와 같다고 하면, 수학적이지 못하고 애매한 설명이니 수학적으로 표현한다면,

 

proj(x)는 직선 L에 대한 x의 정사영과 x - 정사영을 한 벡터가 직선 L에 직교한다고 정의할 수 있다.

 

그래서 정사영 proj(x)= cv와 같이 L위의 벡터에 스칼라 곱을 해준 형태로 쓸 수 있다.

 

 

 

 

이를 수식적으로 표현해보자.

 

벡터 v와 수선은 직교한다.

 

(x - cv) · v = 0 (cv는 정사영, x-cv는 수선)

 

x·v - cv·v = 0

x·v = cv·v

c = (x·v) / (v·v)

 

proj(x) = cv 에 대입해주면

= {(x·v) / (v·v)} v

 

실제 벡터에 적용해보자.

 

x = [2, 3], L은 [2 1]을 지나는 직선이라고 해보자.

 

L = { c[2 1] | c∈R} 으로 표현할 수 있고,

 

v = [2 1] 이라고 할 수 있다.

 

proj(x) = {(x·v) / (v·v)} v = {([2, 3] · [2 1]) / ([2 1] · [2 1])} [2 1]= {7 / 5} [2 1]= [2.8 1.4]

 

여기서는 

오직 R²에 대해서만 다뤘지만, 이것은 고차원으로 확장될 수 있다.

 

따라서 비록 R²에서만 진행했더라도, Rⁿ으로 확장해서 적용할 수 있다.