8-4. 단위벡터(Unit Vector)

(1) 단위벡터

 

앞 부분에서 다뤘어야 하는 내용인데, 빠졌어서 간단하게 정리하고 넘어가려고 한다.

 

단위벡터는 길이가 1인 벡터를 의미한다.

 

 

1. u가 단위벡터이고, Rⁿ의 원소라고 하자.

 

그 말은 u는 u1~un까지 n개의 원소가 있다는 의미이다.

 

그리고, u의 길이는 각 성분의 제곱의 합에 루트를 씌워준 값이다.

 

u는 단위벡터이기 때문에 길이는 1이고, u1² + u2² + ... + un²의 제곱근 역시 1이다.

 

R이 100차원이든 2차원이든 상관없이 무조건 1이다.

 

 

2. v가 단위벡터가 아닌 벡터라면, Rⁿ의 원소라고 하자. 이를 어떻게 단위벡터로 만들 수 있을까?

 

v = [v1 v2 ... vn] 이고, 벡터의 길이를 ∥v∥라고 하자.

 

벡터를 벡터의 길이로 나눠서, v/(∥v∥)를 해주면, u라는 단위벡터를 구할 수 있다.

 

u의 길이 = 1 이고, 1 = ∥v / (∥v∥)∥ = ∥v∥ / (∥v∥) 이기 때문이다.

 

 

∥v∥는 스칼라 값이기 때문에, ∥ ∥ 안으로 이동해도 아무런 문제가 없다. (∥cv∥ = c∥v∥ 이기 때문)

 

 

예를 들어보자.

 

v = [1, 2, -1] 이라면, ∥v∥ = √6 이다.

 

v/(∥v∥) = [1/√6, 2/√6, -1/√6] 이고, 벡터의 길이는 1이다.

 

단위벡터가 나오는 것을 볼 수 있다.

 

단위벡터를 표시할 때는 벡터 위에 hat을 써서 표시하곤 한다.

 

3차원공간의 단위벡터 i, j, k는 위와 같이 표현할 수 있다.