8-1. 선형변환(스케일 변환 행렬, 반사 변환 행렬)

(1) 스케일 변환과 반사 변환

 

이번에는 앞에서 계속 언급한 선형변환을 어떻게 설계해서 벡터들을 원하는 대로 만들 수 있는지 보여주는게 목적이다.

 

선형변환 T는 Rn에서 Rm으로 사상되는 변환으로 m × n 행렬 A와 벡터 x의 곱으로 표현할 수 있다.

 

n×n인 단위 벡터 I는 e1, e2, ..., en과 같이 표준기저 열벡터로 표현할 수 있다.

 

그러면 A는 각 표준기저에 T 변환을 해준 것으로 표현할 수 있다.

 

A = [T(e1), T(e2), ..., T(en)]

 

R2에 (3,2), (-3, 2), (3, -2)라는 세 개의 위치 또는 위치벡터가 있고, 이 세 벡터를 활용하면 하나의 삼각형을 그릴 수 있다.

 

이 삼각형을 우리는 y축을 중심으로 반사하고(뒤집고), y 방향으로 삼각형을 2배로 늘리고 싶다.

 

그러면 우리는 어떤 변환을 해줘야 할까?

 

y축에 대한 이 반사는 부호를 뒤집는 것, 즉 x좌표의 부호를 바꾸는 것과 같을 것이다.

 

그러므로 이 식은 x좌표에 -1을 곱한 것과 같다.

 

y방향으로 2배 늘리고 싶는 것은 그냥 y좌표에 2를 곱하는 것과 같다. (식으로 쓰면 우측 노란색이다)

 

그렇다면 이 변환을 어떻게 쓸 수 있을까?

 

T([x, y]) = [-x, 2y] 라고 써주면 된다.

 

(x, y)를 변환하면 (-x, 2y)가 된다는 의미와 같다.

 

 

I라는 단위행렬이 있을 때, A = [T(e1), T(e2), ..., T(en)] 이라고 했다.

 

이를 활용해서 T([x, y]) = [-x, 2y] 변환을 표현해보면,

 

A = [ T(1, 0), T(0,1) ] 이고,

 

A = [ [-1, 0], [0, 2] ] (열벡터)

 

A = [ -1, 0 ; 0, 2] 이다.

 

R2의 (3,2), (-3, 2), (3, -2)을 변환하면, (-3, 4), (3, 4), (-3, -4) 이다.

 

이를 좌표에 그려보면, 우측 노란색 삼각형처럼 뒤집히고 길어진 삼각형을 구할 수 있다.

 

여기서 재밌는 것은 뒤집거나 늘리는 행동인 반사 변환과 스케일 변환이 모두 대각행렬을 통해 이뤄진다는 것이다.

 

R2에서 예를 들어서 설명했지만, R3에서 하더라도 이는 마찬가지로 동일한다.

 

 

우리가 알아둬야 할 것은 A = [T(e1), T(e2), ..., T(en)]와 같이 표현할 수 있다는 점과 대각행렬을 통해 반사, 스케일 변환이 이뤄진다는 것이다.