SInce 20180106

(1) 정규직교기저에 대한 좌표 앞에서 정규직교기저가 무엇인지 알아보았다. 그러면 정규직교기저를 어떻게 활용하는지 알아보자. 정규직교기저의 여러 용도 중 하나로 정규직교기저는 좋은 좌표계 혹은 좋은 기저로 사용될 수 있다는 것이다. Rn의 표준 기저를 적어보면, Rn = {[1, ... 0], [0, 1, ..., .], ... , [0, ..., 1]} 과 같이 표현할 수 있다. 각 원소들은 길이가 1이고, 다른 원소와 내적하면 0이 되며, 자기 자신과 내적하면 1이 된다. B = {v1, v2, ..., vk} 와 같이 정규직교집합이 있다. B는 부분공간 V의 정규직교기저이다. B에는 k개의 기저 벡터가 있기 때문에, V는 k차원 부분공간이라는 것을 알 수 있다. B의 벡터들로 이루어진 좌표계를 좋은..

(1) 4대 부분공간의 직교 14장에서는 직교보공간(직교여공간)에 대해서 알아보려고 하는데, 이에 앞서서 앞에서 다룬 부분공간들이 어떻게 수직이 되는지 알아보고 넘어가려고 한다. 일단 내적이 0인 두 벡터는 수직이다. 그리고, 어떤 부분공간에 속한 모든 벡터들이 다른 부분공간에 속한 벡터들과 모두 수직이라면, 두 부분공간은 수직이다. 예를 들어, 행공간과 영공간은 수직이다. (2) 행공간과 영공간 행공간과 영공간은 직교이다. 행렬 A의 행공간은 A의 행 벡터로 생성되고, 영공간은 Ax = 0을 만족하는 x로 생성된다. Ax = 0는 [row1; row2; ....; row m) x = [0; 0; ...; 0]을 만족시키려면, row1*x1 = 0 이 되므로, 모든 행 벡터와 x의 내적이 0이 되어야한다..

(1) 벡터의 외적 (Cross Product) 한줄 요약 : 외적은 두 벡터와 직교하는 벡터값이다. 이전에는 계속 내적에 대한 내용이었는데, 이제는 외적에 대한 내용을 추가해보려고 한다. 내적은 어느 차원에서든지 정의가 되어있어서, Rn에 있는 어느 벡터든지 내적값을 구할 수 있었다. 하지만 외적은 오직 R3에서만 정의가 된다. 내적의 결과는 스칼라였지만, 외적의 결과는 벡터가 된다는 점 역시 다르다. R3에 존재하는 벡터 a를 [a₁, a₂, a₃]라고 하고, 벡터 b를 [b₁, b₂, b₃]라고 하자. 그렇다면, a x b(외적)는 [a₂ × b₃ - a₃ × b₂, a₃ × b₁ - a₁ × b₃, a₁ × b₂ - a₃ × b₂]가 된다. 서로 교차하여 계산한다고 생각하면 된다. 예를 들어, 벡..

1. 벡터 사이의 각도 이전에는 벡터의 길이에 대해 정리하면서, 벡터의 길이는 스칼라 값이라고 했다. 이번에는 벡터 사이의 각도에 대한 개념을 정의하고자 한다. 우리는 2차원 혹은 3차원 공간에서의 각도와 길이에 대해서 잘 알고 있다. 하지만 선형대수학이라는 학문 자체가 이런 개념들을 다차원의 공간에 추상화시키는 것이기 때문에, 다차원 공간에서의 각도에 대해서도 한번 알아볼 필요가 있다. 벡터 a와 벡터 b가 있다고 가정하고, 이들은 영벡터가 아니며 Rⁿ의 원소라고 해보자. 그리고 아직 두 벡터 사이의 각에 대한 개념을 이야기하지 않았지만, 일단 2차원상에 표현하면 삼각형을 이루는 벡터 a, 벡터 b, 벡터 a-b 가 나온다. 그리고 이 삼각형의 변의 길이는 각각의 벡터의 길이라고 할 수 있다. 벡터의 ..