SInce 20180106

(1) 영공간의 직교보공간(직교여공간) 행렬 A가 있다. 이전 글에서 행공간은 열공간의 전치와 같다고 했다. 따라서, C(AT) = R(A)라고 할 수 있따. 그리고 C(AT)⊥ = N(A) 와 같다고 했다. 또한, C(A)⊥ = N(AT) (열공간의 직교여공간은 좌영공간과 같다) 14-5에서 다룬 것처럼 ⊥의 ⊥는 원래의 행렬로 돌아오기 때문에, 영공간의 직교여공간은 어떻게 될까? N(A)⊥ = (C(AT)⊥)⊥ = C(AT). 즉, A 영공간의 직교보공간은 A의 전치의 열공간과 같다. 좌영공간의 직교여공간은 어떻게 될까? N(AT)⊥ = (C(A)⊥)⊥ = C(A) 즉, A 좌영공간의 직교보공간은 A의 열공간과 같다. 정리하자면, N(A) = R(A)⊥ 이고, R(A) = N(A)⊥ 이다. N(AT)..

(1) 직교보공간의 직교보공간 직교보공간의 직교보공간은 어떻게 될까? V⊥는 V의 원소인 v에 대해 x·v = 0인 모든 x의 집합을 의미한다. 그렇다면 (V⊥)⊥는 V⊥의 원소인 w에 대해 x·w = 0인 모든 x의 집합을 의미한다. V, V⊥, (V⊥)⊥를 그림으로 표현해보면 위와 같이 표현된다. (V⊥)⊥는 파란색 원인데, V를 포함하고 그 외의 추가적인 원소(노란색 점)이 있을 수도 있다. x가 (V⊥)⊥의 원소라면, x = v + w (v∈V, w∈V⊥)로 표현할 수 있다. x·w = 0 (둘은 직교하기 때문에 내적의 값은 0) x에 x=v+w를 대입해주면, (v+w)·w = 0 v·w + w·w = 0 0 + w·w = 0 w·w = 0 ||w||²=0 따라서, w=0이 된다. 그러면 식 x ..

(1) 직교보공간(직교여공간) Rn의 부분공간 V가 있다고 하자. 이 부분공간 V의 부분여공간을 V⊥라고 하자. (⊥는 직각이라는 뜻의 perpendicular에서 따온 perp라고 읽는다.) V⊥를 정의하자면, 부분공간 V의 모든 원소 v에 대해 x∙v = 0을 만족하는 x의 집합이다. 근본적으로 말하면, 부분공간의 모든 원소와 직교하는 벡터들이 원소로 있는 집합을 직교여공간이라고 한다. V⊥이 부분공간인지 확인해보자. 부분공간이 되기 위해서는 덧셈과 스칼라곱에 닫혀있어야한다. a, b가 V⊥의 원소이고 v가 V의 원소라면, a∙v = 0 & b∙v = 0 이고, (a+b)∙v =0 (덧셈에 닫혀있다.) ca∙v = c(a∙v) = 0 (스칼라 곱에 닫혀있다) 따라서, V⊥는 부분공간이다. 이는 V⊥에..