14-6. 영공간의 직교보공간

(1) 영공간의 직교보공간(직교여공간)

 

 

행렬 A가 있다.

 

이전 글에서 행공간은 열공간의 전치와 같다고 했다.

 

따라서, C(AT) = R(A)라고 할 수 있따.

 

그리고 C(AT)⊥ = N(A) 와 같다고 했다.

 

또한, C(A)⊥ = N(AT) (열공간의 직교여공간은 좌영공간과 같다)

 

14-5에서 다룬 것처럼 ⊥의 ⊥는 원래의 행렬로 돌아오기 때문에,

 

 

영공간의 직교여공간은 어떻게 될까?

 

N(A)⊥ = (C(AT)⊥)⊥ = C(AT).

 

즉, A 영공간의 직교보공간은 A의 전치의 열공간과 같다.

 

 

좌영공간의 직교여공간은 어떻게 될까?

 

N(AT)⊥ = (C(A)⊥)⊥ = C(A)

 

즉, A 좌영공간의 직교보공간은 A의 열공간과 같다.

 

 

정리하자면, N(A) = R(A)⊥ 이고, R(A) = N(A)⊥ 이다.

 

N(AT) = C(A)⊥ 이고, N(AT)⊥= C(A) 이다.

 

글로 풀어서 써보면,

 

영공간은 행공간의 직교보공간이고, 행공간은 영공간의 직교보공간이다.

 

좌영공간은 열공간의 직교보공간이고, 열공간은 좌영공간의 직교보공간이다.

 

꽤나 훌륭한 대칭이다.