14-5. 직교보공간의 직교보공간

(1) 직교보공간의 직교보공간

직교보공간의 직교보공간은 어떻게 될까?

 

V⊥는 V의 원소인 v에 대해 x·v = 0인 모든 x의 집합을 의미한다.

 

그렇다면 (V⊥)⊥는 V⊥의 원소인 w에 대해 x·w = 0인 모든 x의 집합을 의미한다.

 

V, V⊥, (V⊥)⊥를 그림으로 표현해보면 위와 같이 표현된다.

 

 

(V⊥)⊥는 파란색 원인데, V를 포함하고 그 외의 추가적인 원소(노란색 점)이 있을 수도 있다.

 

 

x가 (V⊥)⊥의 원소라면,

 

x = v + w (v∈V, w∈V⊥)로 표현할 수 있다.

 

x·w = 0 (둘은 직교하기 때문에 내적의 값은 0)

 

x에 x=v+w를 대입해주면,

 

(v+w)·w = 0

v·w + w·w = 0

0 + w·w = 0

w·w = 0

||w||²=0

 

따라서, w=0이 된다.

 

 

그러면 식 x = v+w 는 x = v가 된다.

 

즉, x ∈ (V⊥)⊥ 는

 

 

 x ∈ V 라는 의미이다.

 

 

결론적으로 부분공간 A의 직교보공간의 직교보공간은 A이다.